MÁS EJEMPLOS DE SUBESPACIOS VECTORIALES

Hemos visto dos maneras bastante útiles de expresar Subespacios Vectoriales: R(1,2) y {(x,y) / y = 2x} son dos formas de indicar lo mismo.

¿Cómo pasar de una forma a la otra? En los ejemplos del apartado anterior ya hemos trabajado cómo convertir la segunda forma en la primera. ¿Y al revés?

 

Por ejemplo, si tenemos el Subespacio R(2, 3) ¿cómo conseguimos expresarlo en forma de conjunto de vectores que cumplen una condición?

En R(2,3) se encuentran todos los vectores que se obtienen al multiplicar cualquier número real λ por el vector (2,3). Es decir, todos los vectores λ*(2, 3) = (2λ, 3λ).

Un vector cualquiera de ese conjunto de vectores será (x, y), que por lo anterior será de la forma (2 λ, 3 λ). Así que: (x, y) = (2λ, 3λ), de donde x = 2λ, y = 3λ.

Despejando λ en la primera ecuación: λ = x/2.

Ahora expresamos y en función de x así: y = 3 λ = 3(x/2) = 3x/2

Y ya tenemos el conjunto con la condición: R(2,3) = {(x, y) / y = 3x/2}.

 

Al revés, si me dan el Subespacio {(x, y) / x = 4y}, ¿cómo lo transformamos en R(a, b)?

Un vector cualquiera del conjunto será (x, y), pero como x = 4y, tendré:

(x, y) = (4y, y) = y(4, 1), donde y puede ser cualquier número real.

Así pues: {(x, y ) / x = 4y} = R(4, 1).

 

Por ejemplo, si tenemos R(1, 5) ¿cómo conseguimos expresarlo en la otra forma?

En R(1, 5) se encuentran todos los vectores que se obtienen al multiplicar cualquier número real λ por el vector (1, 5). Es decir, todos los vectores λ*(1, 5) = (λ,  5λ).

Un vector cualquiera de ese conjunto de vectores será (x, y), que por lo anterior será de la forma (λ, 5λ). Así que: (x, y) = (λ, 5λ), de donde x = λ, y = 5λ.

Despejando λ en la primera ecuación: λ = x.

Ahora expresamos y en función de x así: y = 5λ = 5x.

Y ya tenemos lo que buscábamos: R(1, 5) = {(x, y) / y = 5x}.

 

Ejercicio 9 resuelto: Comprobar si A = {(x,y,z) / x = y, z = 0} es un Subespacio Vectorial.

Tenemos el conjunto: A = {(x,y,z) / x = y, z = 0}

Un vector (x, y, z) cualquiera de A será: (x, y, z) = (x, x, 0) = x(1, 1, 0).

Es decir: A = R(1, 1, 0). Sí es un Subespacio Vectorial.

 

Ejercicio 10: Expresa R(-2,1) en forma de conjunto y, al revés, expresa {(x, y) / x = -y} en forma R(a, b).