¿Cómo expresar con símbolos matemáticos un Subespacio
Vectorial? Hay varias maneras de hacerlo. Veamos una de ellas con los ejemplos
que ya hemos tratado.
El Subespacio de R2
formado por todos los vectores cuya primera coordenada es un cero se expresará
o representará así: {(x, y) de R2 / x = 0}.
¿Qué significa? Las llaves nos
indican que es un conjunto. Está formado por elementos (x, y), es decir,
vectores, de R2. La barra / en matemáticas significa “que cumplen
que”. La condición a cumplir es x = 0, que quiere decir que los vectores
cumplirán que la primera coordenada (la x) es cero.
El Subespacio de R2
formado por los vectores cuya primera coordenada es el doble de la segunda se
representará: {(x, y) de R2 / x = 2y}.
Lo único que cambia en este caso
respecto del anterior es la condición a cumplir: x = 2y, significa que la
primera coordenada (la x) es el doble de la segunda (la y).
El Subespacio de R3
formado por los vectores cuya segunda coordenada es opuesta de la primera se
representará: {(x, y, z) de R3 / y = -x}.
En este caso los vectores son de la
forma (x, y, z), con tres coordenadas por ser de R3. La condición a
cumplir: y = -x, significa que la segunda coordenada (la y) es la opuesta (por
eso el signo menos) de la primera (la x).
El Subespacio de R3
formado por los vectores que tienen las tres coordenadas iguales se
representará: {(x, y, z) de R3 / x = y = z}.
Y el Subespacio nulo de R2.
Se representará así: {(0, 0)}. En este caso sólo hay un vector en el conjunto,
el (0, 0). El Subespacio nulo de R3 será: {(0, 0, 0)}.
Ejercicio 6 resuelto: El conjunto B = {(1, 1)} formado sólo por el vector
(1, 1), ¿es un Subespacio Vectorial?
En R2 el conjunto formado sólo por el vector (1, 1) será: B =
{(1, 1)}.
Si sumo dos vectores cualesquiera de B (como en B sólo está el (1, 1))
tendré: (1, 1) + (1, 1) = (2, 2) que no está en B.
No hace falta seguir, he sumado dos vectores de B y no ha salido otro vector
de B. Por ello B no es un Subespacio Vectorial de R2.
Ejercicio 7: Cómo se
representarán los siguientes Subespacios: a) El Subespacio de R2
formado por los vectores que cumplen que la suma de sus coordenadas es cero. b)
El Subespacio de R3 formado por los vectores que cumplen que la
primera coordenada es cero y la tercera es la opuesta de la segunda. c) El
Subespacio de R2 formado por los vectores que cumplen que la primera
coordenada más el triple de la segunda es cero.
Muchas gracias por estas explicaciones tan claras y sencillas. Ahora veo que esto de los espacios vectoriales son una cosa mucho menos compleja de lo que parecía al ver el libro, me siento como si me lo hubieran traducido del chino :)
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