SUBESPACIOS VECTORIALES (II)

Veamos más ejemplos de Subespacios Vectoriales, ahora en R³.

 

De los infinitos vectores del Espacio R³ escojo aquellos que cumplen que su segunda coordenada es la opuesta de la primera.

Es decir, vectores como (2, -2, 5), (-1, 1, 10), (4, -4, 23), etc. Fíjate que de la tercera coordenada no hemos dicho nada, así que puede ser cualquiera.

Está claro que estos que he escogido son infinitos, pero son sólo una parte de todos los que hay en el Espacio Vectorial completo R³.

¿Qué ocurre si sumo dos de esos vectores? Escoja los que escoja, al sumarlos siempre tendré que la segunda coordenada es la opuesta de la primera. Por ejemplo: (2, -2, 5) + (-1, 1, 10) = (1, -1, 15), (-1, 1, 10) + (4, -4, 23) = (3, -3, 33).

¿Y al multiplicar uno de los vectores escogidos por un número cualquiera? Pues no hacen falta muchos ejemplos para ver qué es lo que ocurre: 3*(2, -2, 5) = (6, -6, 15), -4*(-1, 1, 10) = (4, -4, -40), etc. El vector resultante de la multiplicación también tiene la segunda coordenada igual a la primera.

Por todo lo anterior, al cumplirse las dos condiciones, el conjunto de los vectores de R³ que tienen la segunda coordenada igual a la primera es un Subespacio Vectorial.

 

¿Y los vectores de R³ que tienen las tres coordenadas iguales? Por ejemplo: (1, 1, 1), (2, 2, 2), (5, 5, 5), (-4, -4, -4), ¿serán un Subespacio?

Si escojo dos de ellos y lo sumo: (1, 1, 1) + (2, 2, 2) = (3, 3, 3), y está claro que siempre ocurrirá lo mismo al sumarlos, tendremos otro vector con las tres coordenadas iguales.

Y si escojo uno cualquiera y lo multiplico por un número cualquiera: 7*(2, 2, 2) = (14, 14, 14).

Sí, el conjunto de los vectores de R³ que tienen las tres coordenadas iguales también es un Subespacio.

Ejercicio 3 resuelto: Los vectores de R² cuya primera coordenada es el doble de la primera son un Subespacio Vectorial?

Son vectores de este conjunto: (1, 2), (2, 4), (3, 6), (20, 40), etc.

Al sumar dos de ellos cualesquiera: (2, 4) + (3, 6) = (5, 10), (1, 2) + (20, 40) = (21, 42). La primera condición se cumple.

Veamos la segunda: 5*(2, 4) = (10, 20),  -9*(20, 40) = (-180, -360). También se cumple.

Luego este conjunto de vectores sí es un Subespacio.

Ejercicio 4. Los vectores de R² que empiezan por uno, ¿son un Subespacio Vectorial?