En el Espacio Vectorial R2 (igual se podría
razonar todo lo que sigue en R3) podemos construir fácilmente un
Subespacio Vectorial de la siguiente forma:
Escogemos un vector cualquiera, por
ejemplo (2,3), y lo vamos multiplicando por todos los números reales: 1*(2,3) =
(2,3); 2*(2,3) = (4,6); 3*(2,3) = (6,9); 0*(2,3) = (0,0); (-1)*(2,3) = (-2,-3);
etc.
Este conjunto de infinitos vectores
así obtenido es un Subespacio Vectorial de R2, porque se cumplen las
dos condiciones para serlo, como fácilmente puede verse. Se representa por:
R(2,3), donde la letra R quiere expresar que al vector (2,3) lo multiplicamos
por todos los números reales, es decir, que es el Subespacio formado por todos
los múltiplos del vector (2, 3). Tenemos pues que: R(2,3) = {(2,3), (4,6),
(6,9), (0,0), (-2,-3), …}.
Con este método a nuestra
disposición ya podemos construir todos los Subespacios Vectoriales de R2
o de R3 que queramos. Sólo tenemos que escoger un vector cualquiera
y de inmediato fabricamos el Subespacio correspondiente: R(1,1); R(0,8);
R(-1,3); R(2,2); etc.
R(1,1) = {(2,2), (3,3), (4,4),
(0,0), (-1,-1), …}.
R(0,8) = {(0,16), (0,24), (0,40),
(0,0), (0,-8), …}.
R(-1,3) = {(-2,6), (-4,9), (-6,12),
(0,0), (1,-3), …}.
R(2,2) = {(4,4), (6,6), (8,8),
(0,0), (-2,-2), …}.
Por lo tanto, siempre que nos
pregunten si R(3, 4), R(-1, 2, 5), R(-3, 2), R(10, -1, 0), etc. son Subespacios
Vectoriales, la respuesta será que sí, no hará falta comprobarlo.
Te habrás dado cuenta de que el vector nulo (0,0) se
encuentra en todos los Subespacios anteriores. Esto siempre se cumple: El
vector nulo pertenece a todos los Subespacios Vectoriales.
Ejercicio 7 resuelto:
Cómo se representarán los siguientes Subespacios: a) El Subespacio de R2
formado por los vectores que cumplen que la suma de sus coordenadas es cero. b)
El Subespacio de R3 formado por los vectores que cumplen que la
primera coordenada es cero y la tercera es la opuesta de la segunda. c) El
Subespacio de R2 formado por los vectores que cumplen que la primera
coordenada más el triple de la segunda es cero.
El Subespacio de R2
formado por los vectores que cumplen que la suma de sus coordenadas es cero se
representa: {(x, y) de R2 / x + y = 0}.
El Subespacio de R3
formado por los vectores que cumplen que la primera coordenada es cero y la
tercera es la opuesta de la segunda se representa: {(x, y, z) de R3
/ x = 0, z = -y}.
El Subespacio de R2
formado por los vectores que cumplen que la primera coordenada más el triple de
la segunda es cero se representa: {(x, y) de R2 / x + 3y = 0}.
Ejercicio 8: ¿A cuál de los siguientes subespacios vectoriales no
pertenece el vector (1,2)?
a) R(-1,-2) b) R(3,6) c) R(-1,2) d) R(1/2,1)
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