SUBESPACIOS VECTORIALES

Entender lo que es un Subespacio Vectorial a veces se hace muy duro leyendo determinados libros de Álgebra.

Pero si tenéis claro que un Espacio Vectorial es un conjunto formado por vectores, entonces sólo tenéis que imaginar que de todos esos vectores del Espacio cogéis algunos, es decir, cogéis una parte del Espacio, un subconjunto de él. Esa es la idea primera para comprender lo que es un Subespacio Vectorial: una parte de todo el Espacio Vectorial.

Si sólo fuese eso sería demasiado fácil, pensaréis. Y es cierto, hay una segunda parte más complicada de visualizar.

Ese grupo de vectores que se cogen para hacer un Subespacio tienen que cumplir dos condiciones:

1) Al sumar dos vectores de ese grupo (los que sean), tenemos que obtener otro vector de ese grupo.

2) Al multiplicar un vector de ese grupo (el que sea) por un número (el que sea), se tiene que obtener otro vector de ese grupo.

 

Por ejemplo, R² es un Espacio Vectorial formado por infinitos vectores como ya sabéis. De esos infinitos escojo todos los que empiezan por cero, es decir todos aquellos cuya primera componente es un cero, los que son de la forma: (0,a),  donde a puede ser cualquier número.

Está claro que estos que he escogido son muchos, en realidad son infinitos, pero son sólo una parte de todos los que hay en el Espacio Vectorial completo R².

¿Qué pasa si sumo dos de esos vectores que he escogido? Serán dos vectores que empiecen por cero, así que al sumarlos el resultado será otro vector que empezará por cero también. Por lo tanto el grupo de vectores que empiezan por cero cumplen la primera condición. Con letras: (0,a) + (0,b) = (0,a+b).

¿Y si multiplico uno de los vectores que escogí por un número cualquiera? Pues al multiplicar el número por el cero (primera componente) del vector el resultado va a ser cero, por lo que el vector resultante también empezará por cero. Es decir, se cumple la segunda condición. Con letras: k*(0,a) = (k*0,k*a) = (0,k*a).

Luego los vectores de R² cuya primera componente es un cero forman un Subespacio Vectorial del Espacio R².

Ejercicio 2 resuelto: En el Espacio R² tenemos los vectores a = (2,-4), b = (-1,0),    c = (-2, -3).

¿Cuál será el resultado de efectuar las operaciones siguientes:

a + b, 2a, b – c, 3a - 2c

a + b = (2,-4) + (-1,0) = (1,-4).

2a = 2(2,-4) = (2*2,2*(-4)) = (4,-8).

b - c = (-1,0) - (-2,-3) = (1,3).

3a - 2c = 3(2,-4) - 2(-2,-3) = (6,-12) - (-4,-6) = (10,-6).

Ejercicio 3: Los vectores de R² cuya primera coordenada es el doble de la primera son un Subespacio Vectorial?