¿CÓMO COMPROBAR SI UN CONJUNTO DE VECTORES ES UN SUBESPACIO VECTORIAL?

Una forma de comprobar que un conjunto de vectores es un Subespacio Vectorial es intentar escribir ese conjunto en la forma R(a,b), si estamos en R², o R(a,b,c) si es en R³, pues ya hemos visto que un conjunto de esta forma sí es un Subespacio Vectorial siempre.

¿Cómo se hace eso? Fíjate en los ejemplos siguientes:

 

Vamos a comprobar si A = {(x,y) / x = y} es un subespacio vectorial de R².

Este conjunto A está formado por todos los vectores en los que la primera componente es igual a la segunda. Por ejemplo, forman parte de A los vectores (1,1), (2,2), (3,3), (0,0), etc.

Como x = y podemos escribir cualquier vector de A, (x, y), de la forma: (x,y) = (y,y). Los vectores de A se obtendrán dándole valores a y.

Pero entonces cualquier vector de A se podrá expresar en la siguiente forma: (y,y) = y*(1,1) donde y será un número cualquiera. Es decir, el conjunto A será el R(1,1), y ya hemos dicho que estos conjuntos son siempre un Subespacio Vectorial, luego A lo es.

 

Comprobemos ahora si A = {(x,y) de R² / 2x – y = 0} es un subespacio vectorial de R².

Si 2x – y = 0 entonces 2x = y. Los vectores de A son de la forma (x,y) = (x,2x) = x(1,2).

Es decir, el conjunto A es en realidad el conjunto R(1,2): A = R(1,2) y ya sabemos que este conjunto es un subespacio de R².

 

Ahora veamos si el conjunto de vectores de R³ que cumplen que la suma de sus tres coordenadas es cero y además que tiene la segunda coordenada iguala a la tercera es un Subespacio.

Será el conjunto: A = {(x, y, z) / x + y +z = 0, y = z}

Despejando x en la primera de las ecuaciones: x = -y –z. Además, como y = z, entonces: x = -y –y = -2y.

Por ello un vector (x, y, z) cualquiera de A será: (x, y, z) = (-2y, y, y) = y(-2, 1, 1).

Es decir: A = R(-2, 1, 1). Sí es un Subespacio Vectorial.

 

Ejercicio 8 resuelto: ¿A cuál de los siguientes subespacios vectoriales no pertenece el vector (1,2)?

a) R(-1,-2) b) R(3,6) c) R(-1,2) d) R(1/2,1)

Sí pertenece a R(-1,-2) ya que (1,2) = (-1)*(-1,-2).

Sí pertenece a R(3,6) ya que (1,2) = (1/3)*(3,6).

Sí pertenece a R(1/2,1) ya que (1,2) = 2*(1/2,1).

No pertenece a R(-1,2) ya que no existe ningún número k tal que (1,2) = k*(-1,2). Sería imposible pues k debería ser positivo y negativo a la vez.

 

Ejercicio 9: Comprobar si A = {(x,y,z) / x = y, z = 0} es un Subespacio Vectorial.