COMBINACIONES LINEALES

Comenzamos a trabajar ahora con combinaciones lineales de vectores. Una forma intuitiva de explicar esta idea es hacer ver que ser combinación lineal de otros vectores quiere decir algo así como depender de ellos.

Veámoslo con varios ejemplos:

El vector (2, 3) de R² es combinación lineal de los vectores (1, 1) y (0, 1) porque puedo encontrar dos números, el 2 y el 1, de forma que (2, 3) se puede expresar como:

(2, 3) = 2(1, 1) + 1(0, 1)

El vector (2, 1, 4) de R³ es combinación lineal de los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) porque puedo encontrar tres números, el 2, el 1 y el 4, de forma que (2, 1, 4) se puede expresar como:

(2, 1, 4) = 2(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1)

También el vector (-2, 8, 8) es combinación lineal de (1, 0, 1), (2, -1, 3) y (0, 2, 4), ya que:

(-2, 8, 8) = 2(1, 0, 1) -2(2, -1, 3) +3(0, 2, 4)

Ejercicio 11: Expresa (3, 7) como combinación lineal de (1, 2) y (3, 4).

Ejercicio 10 resuelto: Expresa R(-2, 1) en forma de conjunto y, al revés, expresa {(x, y) / x = -y} en forma R(a, b).

En R(-2, 1) se encuentran todos los vectores que se obtienen al multiplicar cualquier número real λ por el vector (-2, 1). Es decir, todos los vectores λ(-2, 1) = (-2λ, λ).

Un vector cualquiera de ese conjunto de vectores será (x, y), que por lo anterior será de la forma (-2λ,  λ). Así que: (x, y) = (-2λ,  λ), de donde x = -2λ, y = λ.

Ahora expreso x en función de y así: x = -2λ = -2y.

Y ya tengo el conjunto con la condición: R(-2, 1) = {(x, y) / x = -2y}.

Para la segunda parte, un vector cualquiera del conjunto será (x, y), pero como x = -y, tendré:

(x, y) = (-y, y) = y(-1, 1), donde y puede ser cualquier número real.

Así pues: {(x, y) / x = -y} = R(-1, 1).