Considérese los subespacios vectoriales de R3
siguientes:
F1 = {(x,y,z) de R3 / y + z =
0}, F2 = R(0,1,-1). Se verifica:
a)
F1 ≤ F2, y así F1 + F2 =
F2.
b)
Son subespacios vectoriales independientes.
c)
F2 ≤ F1, y así F1 + F2 =
F1.
El símbolo ≤ representa “está incluido o es igual
a”.
Si se suman dos
subespacios, y uno está incluido en el otro, entonces la suma es igual al mayor
de los dos subespacios.
¿Está F1
incluido en F2 o viceversa (o ninguna de las dos cosas)?
Un vector de F1
cumple que la suma de su segunda y tercera coordenadas es cero. ¿Pertenece a F2?
Por ejemplo, (3,2,-2) está en F1, ¿está también en F2?
Para estar en F2 debería ser múltiplo del vector (0,1,-1),
es decir, debería ser (3,2,-2) = a(0,1,-1) para algún número a. Pero este
número a no existe, luego F1 no está incluido en F2.
Al revés, un vector de F2
es un múltiplo de (0,1,-1). ¿Cumple la condición para estar en F1?
Sí, ya que todos los múltiplos de (0,1,-1) tienen la suma de su segunda y
tercera coordenadas cero.
Así pues F2
está incluido en F1.
Eso quiere decir que la
suma de ambos subespacios es igual al mayor de los dos, es decir, a F1:
F1 + F2 = F1. La respuesta correcta es pues la
d).
Los subespacios no son
independientes pues el vector (0,1,-1) pertenece a ambos. Esto descartaría la
opción b).
Ejercicios propuestos:
F1
= {(x,y) de R2 / x - y = 0}, F2 = R(1,-1). Se verifica:
a)
F1 ≤ F2,
y así F1 + F2 = F2.
b)
Son subespacios
vectoriales independientes.
c)
F2 ≤ F1,
y así F1 + F2 = F1.
F1
= {(x,y,z) de R3 / y - z = 0}, F2 = R(1,1,1). Se
verifica:
a)
F1 ≤ F2,
y así F1 + F2 = F2.
b)
Son subespacios
vectoriales independientes.
c)
F2 ≤ F1,
y así F1 + F2 = F1.
Todos
los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se
encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.
No hay comentarios:
Publicar un comentario