EJERCICIOS SOBRE EL NÚCLEO DE UNA APLICACIÓN LINEAL

Considérese la aplicación lineal f: R²→R², tal que f(x,y) = (x – 2y, - x + 2y).

El subespacio vectorial Kerf es igual a:

a)      {(0, 0)}

b)     R(2, 1)

c)      {(x, y) de R² / x – 2y = 0}

Un vector (x,y) pertenecerá al Kerf si f(x,y) = 0. Se cumplirá entonces que f(x,y) = (x – 2y, - x + 2y) = 0 à x – 2y = 0, - x + 2y = 0.

Ambas ecuaciones son iguales (una es igual a la otra multiplicada por – 1). Podemos quedarnos sólo con una de las dos y razonar que un vector (x,y) pertenecerá al Kerf si x – 2y = 0, es decir, si x = 2y.

Esto nos da como válida la opción c).

Se descarta también la opción a). El Kerf no está formado sólo por el vector nulo.

Veamos si es válida la opción b). El subespacio {(x, y) de R² / x – 2y = 0} está formado por todos los vectores de la forma (2y, y) ya que x – 2y = 0 à x = 2y. Pero los vectores de la forma (2y, y) son aquellos que se pueden expresar como y(2,1), donde y es un número real cualquiera. Es decir, el subespacio {(x, y) de R² / x – 2y = 0} es igual al subespacio R(2,1). Por ello la opción b) también es válida.

Ejercicios propuestos:

Considérese la aplicación lineal f: R²→R², tal que f(x,y) = (x + y, x - y).

El subespacio vectorial Kerf es igual a:

a)      {(0, 0)}

b)     R(-1, 1)

c)      R²

Considérese la aplicación lineal f: R³→R², tal que f(x,y,z) = (x + y, x - y).

El subespacio vectorial Kerf es igual a:

a)      {(0, 0, 0)}

b)     R(0, 0, 1)

c)      R²

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.