Dado un número real a, la dimensión del subespacio
vectorial de R2 generado por los vectores (2, 6), (-1,a) y (-3,-9)
es igual a 1 si y solamente si:
a)
a = -3
b)
a ≠ -3
c)
a = 3
La dimensión del
subespacio generado por un conjunto de vectores es igual al rango de la matriz
formada con ellos.
En este caso sería una
matriz de tres filas (una por cada vector) y dos columnas (por ser vectores de
dos coordenadas).
Por filas la matriz sería:
(2,6), (-1,a), (-3,-9). El rango de esta matriz será como mucho dos, ya que
sólo tiene dos columnas. Podrá ser 1 ó 2.
Será dos si podemos
encontrar en ella algún determinante de orden dos que no valga cero. Será uno
si todos los determinantes de orden dos que hay en ella valen cero.
Los determinantes de orden
dos de la matriz son tres, los formados por: primer y segundo vector, segundo y
tercer vector, primer y tercer vector. Calculemos los tres:
Determinante 1: 2*a -
(-1)*6 = 2a + 6. Determinante 2: (-1)*(-9) - (-3)*a = 9 + 3a. Determinante 3:
2*(-9) - (-3)*6 = - 18 + 18 = 0.
El tercero ya directamente
vale cero. Los otros dos valdrán cero si 2a + 6 = 0 y 9 + 3a = 0.
Ambas
condiciones dan como resultado que a debe valer -3.
Solución: la opción a).
Ejercicios propuestos:
Dado
un número real a, la dimensión del subespacio vectorial de R2
generado por los vectores (1, -2), (-1,a) y (-2,4) es igual a 2 si y solamente
si:
a)
a ≠ - 2
b)
a ≠ 2
c)
a = 2
Dado
un número real a, la dimensión del subespacio vectorial de R3
generado por los vectores (3,2,6), (-1,a,-2) y (4,1,5) es igual a 2 si y
solamente si:
a)
a = -2/3
b)
a ≠ -2/3
c)
a = 2/3
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