EJERCICIOS SOBRE APLICACIONES INYECTIVAS Y SUPRAYECTIVAS

La aplicación lineal f: R²à R², definida por f(x, y) = (x+y, 0) es:

a)      Una aplicación inyectiva.

b)     Un endomorfismo.

c)      Una aplicación suprayectiva.

Empecemos este ejercicio calculando quién es el núcleo de f.

Un vector cualquiera del núcleo (x,y) cumplirá que f(x,y) = (0,0).

Pero en la definición de f se nos dice que f(x,y) = (x+y, 0). Por lo tanto, un vector cualquiera del núcleo cumplirá que:

x + y = 0, 0 = 0

Despejando en la única ecuación: y = -x. Es decir, un vector cualquiera del núcleo (x,y) será: (x,y) = (x,-x) = x(1,-1). Por lo tanto hemos obtenido que:

Kerf = R(1,-1), lo que nos dice además que Dim(Kerf) = 1 y que la aplicación no puede ser inyectiva (porque para ello la dimensión del Ker sería cero).

Como: Dim(kerf) + Dim(Imf) = Dim(R²) à 1 + Dim(Imf) = 2 à Dim(Imf) = 1.

Como Dim(Imf) = 1, entonces la aplicación no es suprayectiva (para serlo la dimensión de la Imagen debería ser igual a la dimensión del espacio final).

La aplicación f sí es un endomorfismo, ya que los espacios inicial y final coinciden. Solución: la opción b).

 

Ejercicios propuestos:

La aplicación lineal f: R²à R³, definida por f(x, y) = (x+y, x, y) es:

a)      Una aplicación inyectiva.

b)     Un endomorfismo.

c)      Una aplicación suprayectiva.

La aplicación lineal f: R³à R², definida por f(x, y, z) = (x, 2y) es:

a)      Una aplicación inyectiva.

b)     Un endomorfismo.

c)      Una aplicación suprayectiva.

 

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.