UN SUBESPACIO ESPECIAL

En cualquier Espacio Vectorial hay un vector único y muy especial: el vector nulo.

Es el vector que cumple que:

·        Sumado con cualquier otro vector el resultado es el otro vector. Es decir, es el elemento neutro de la suma de vectores.

·        Multiplicado por cualquier número el resultado es él mismo, el vector nulo.

En R² el vector nulo es el vector (0,0).

En R³ el vector nulo es el vector (0,0,0).

Hemos visto que un Subespacio Vectorial es una parte del conjunto de vectores de todo el Espacio que cumple dos condiciones.

Si de todo el Espacio escojo solamente el vector nulo, el conjunto formado sólo por él, ¿este conjunto cumplirá las dos condiciones para ser un Subespacio Vectorial?

En R² el conjunto formado sólo por el vector nulo será: A = {(0,0)}.

Si sumo dos vectores cualesquiera de A (como en A sólo está el (0,0)) tendré: (0,0) + (0,0) = (0,0) que está en A.

Si multiplico un vector cualquiera de A por un número cualquiera: k*(0,0) = (0,0) que está en A.

Luego el conjunto formado por únicamente el vector nulo es un Subespacio Vectorial de R².

 

Lo mismo podemos razonar en R³ con (0,0,0).

Ejercicio 5 resuelto: Los vectores de R³ que cumplen que al sumar sus tres coordenadas se obtiene como resultado 10, ¿son un Subespacio Vectorial?

Vectores de este conjunto son: (1, 1, 8), (2, 2, 6), (3, 3, 4), (1, 2, 7), (-2, 4, 8), etc. Hay infinitos.

Al sumar dos de ellos: (1, 1, 8) + (2, 2, 6) = (3, 3, 14), y la suma de sus tres coordenadas no es 10. Falla la primera condición.

Por ello este conjunto de vectores no es un Subespacio.

 

Ejercicio 6: El conjunto B = {(1, 1)} formado sólo por el vector (1, 1), ¿es un Subespacio Vectorial?