100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I

En el libro digital "100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I" podrás encontrar ejercicios modelo de la asignatura de Matemáticas I de ADE.


Estos ejercicios son un buen resumen de lo tratado en el Blog.


Podéis adquirilo en la librería digital Bubok. El enlace al libro es:
http://www.bubok.es/libros/219373/100_EJERCICIOS_DE_MATEMATICAS_I




martes, 15 de julio de 2014

¿CÓMO EXPRESAR UN VECTOR COMO COMBINACIÓN LINEAL DE OTROS?


Para expresar un vector, (1,5) por ejemplo, como combinación lineal de otros vectores, pongamos (-1,2) y (3,1), necesito encontrar dos números a, b, que cumplan que  (1,5) = a(-1,2) + b(3,1). ¿Cómo se buscan esos dos números?

Veamos el proceso:

Tendremos que encontrar dos números a, b, que cumplan que:
(1,5) = a(-1,2) + b(3,1).

Multiplicando y sumando nos queda: (1,5) = (-a,2a) + (3b,b) = (-a + 3b,2a + b).
Separando las primeras componentes por un lado y las segundas por otro obtengo dos ecuaciones, que forman un sistema:

1 = -a + 3b
5 = 2a + b

Se puede resolver por cualquiera de los métodos posibles, por ejemplo, por sustitución, depejando a en la primera ecuación: a = 3b – 1, y sustituyendo este valor en la segunda:

5 = 2(3b – 1) + b; 5 = 6b – 2 + b; 5 = 7b -2; 7b = 7; b = 7/7; b = 1.

Y ahora como a = 3b – 1, sustituyendo b por el valor que he obtenido:

a = 3(1) – 1; a = 3 - 1; a = 2.

Por lo tanto (1, 5) = (2)(-1,2) + (1)(3,1).

 
Ejercicio 12: Expresar (2,1,1) como combinación lineal de (1,1,1), (0,1,0) y (1,0,1).
 

Ejercicio 11 resuelto: Expresa (3,7) como combinación lineal de (1,2) y (3,4).

Hay que encontrar dos números, a, b, que cumplan que: (3,7) = a(1,2) + b(3,4)
Multiplicando y sumando: (3,7) = (a + 3b, 2a + 4b)
Y así se obtiene el sistema:

3 = a + 3b
7 = 2a + 4b

Resolviéndolo se llega a: a = 9/2, b= -1/2.
Por lo tanto: (3,7) = (9/2)(1,2) – (1/2)(3,4).

 

lunes, 14 de julio de 2014

COMBINACIONES LINEALES


Comenzamos a trabajar ahora con combinaciones lineales de vectores. Una forma intuitiva de explicar esta idea es hacer ver que ser combinación lineal de otros vectores quiere decir algo así como depender de ellos.
Veámoslo con varios ejemplos:


El vector (2, 3) de R2 es combinación lineal de los vectores (1, 1) y (0, 1) porque puedo encontrar dos números, el 2 y el 1, de forma que (2, 3) se puede expresar como:
(2, 3) = 2(1, 1) + 1(0, 1)

El vector (2, 1, 4) de R3 es combinación lineal de los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) porque puedo encontrar tres números, el 2, el 1 y el 4, de forma que (2, 1, 4) se puede expresar como:
(2, 1, 4) = 2(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1)

También el vector (-2, 8, 8) es combinación lineal de (1, 0, 1), (2, -1, 3) y (0, 2, 4), ya que:
(-2, 8, 8) = 2(1, 0, 1) -2(2, -1, 3) +3(0, 2, 4)


Ejercicio 11: Expresa (3, 7) como combinación lineal de (1, 2) y (3, 4).


Ejercicio 10 resuelto: Expresa R(-2, 1) en forma de conjunto y, al revés, expresa {(x, y) / x = -y} en forma R(a, b).

En R(-2, 1) se encuentran todos los vectores que se obtienen al multiplicar cualquier número real λ por el vector (-2, 1). Es decir, todos los vectores λ(-2, 1) = (-2λ, λ).

Un vector cualquiera de ese conjunto de vectores será (x, y), que por lo anterior será de la forma (-2λ,  λ). Así que: (x, y) = (-2λ,  λ), de donde x = -2λ, y = λ.

Ahora expreso x en función de y así: x = -2λ = -2y.

Y ya tengo el conjunto con la condición: R(-2, 1) = {(x, y) / x = -2y}.

Para la segunda parte, un vector cualquiera del conjunto será (x, y), pero como x = -y, tendré:
(x, y) = (-y, y) = y(-1, 1), donde y puede ser cualquier número real.
Así pues: {(x, y) / x = -y} = R(-1, 1).