EJERCICIOS SOBRE MATRICES INVERSAS (II)

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.

EJERCICIOS SOBRE MATRICES INVERSAS

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EJERCICIOS SOBRE BASE DUAL

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EJERCICIOS SOBRE LA IMAGEN Y EL NÚCLEO DE UNA APLICACIÓN LINEAL (II)

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EJERCICIOS SOBRE LA IMAGEN Y EL NÚCLEO DE UNA APLICACIÓN LINEAL

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EJERCICIOS SOBRE TIPOS DE APLICACIONES LINEALES

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EJERCICIOS SOBRE APLICACIONES INYECTIVAS Y SUPRAYECTIVAS

La aplicación lineal f: R²à R², definida por f(x, y) = (x+y, 0) es:

a)      Una aplicación inyectiva.

b)     Un endomorfismo.

c)      Una aplicación suprayectiva.

Empecemos este ejercicio calculando quién es el núcleo de f.

Un vector cualquiera del núcleo (x,y) cumplirá que f(x,y) = (0,0).

Pero en la definición de f se nos dice que f(x,y) = (x+y, 0). Por lo tanto, un vector cualquiera del núcleo cumplirá que:

x + y = 0, 0 = 0

Despejando en la única ecuación: y = -x. Es decir, un vector cualquiera del núcleo (x,y) será: (x,y) = (x,-x) = x(1,-1). Por lo tanto hemos obtenido que:

Kerf = R(1,-1), lo que nos dice además que Dim(Kerf) = 1 y que la aplicación no puede ser inyectiva (porque para ello la dimensión del Ker sería cero).

Como: Dim(kerf) + Dim(Imf) = Dim(R²) à 1 + Dim(Imf) = 2 à Dim(Imf) = 1.

Como Dim(Imf) = 1, entonces la aplicación no es suprayectiva (para serlo la dimensión de la Imagen debería ser igual a la dimensión del espacio final).

La aplicación f sí es un endomorfismo, ya que los espacios inicial y final coinciden. Solución: la opción b).

 

Ejercicios propuestos:

La aplicación lineal f: R²à R³, definida por f(x, y) = (x+y, x, y) es:

a)      Una aplicación inyectiva.

b)     Un endomorfismo.

c)      Una aplicación suprayectiva.

La aplicación lineal f: R³à R², definida por f(x, y, z) = (x, 2y) es:

a)      Una aplicación inyectiva.

b)     Un endomorfismo.

c)      Una aplicación suprayectiva.

 

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EJERCICIOS SOBRE EL NÚCLEO DE UNA APLICACIÓN LINEAL

Considérese la aplicación lineal f: R²→R², tal que f(x,y) = (x – 2y, - x + 2y).

El subespacio vectorial Kerf es igual a:

a)      {(0, 0)}

b)     R(2, 1)

c)      {(x, y) de R² / x – 2y = 0}

Un vector (x,y) pertenecerá al Kerf si f(x,y) = 0. Se cumplirá entonces que f(x,y) = (x – 2y, - x + 2y) = 0 à x – 2y = 0, - x + 2y = 0.

Ambas ecuaciones son iguales (una es igual a la otra multiplicada por – 1). Podemos quedarnos sólo con una de las dos y razonar que un vector (x,y) pertenecerá al Kerf si x – 2y = 0, es decir, si x = 2y.

Esto nos da como válida la opción c).

Se descarta también la opción a). El Kerf no está formado sólo por el vector nulo.

Veamos si es válida la opción b). El subespacio {(x, y) de R² / x – 2y = 0} está formado por todos los vectores de la forma (2y, y) ya que x – 2y = 0 à x = 2y. Pero los vectores de la forma (2y, y) son aquellos que se pueden expresar como y(2,1), donde y es un número real cualquiera. Es decir, el subespacio {(x, y) de R² / x – 2y = 0} es igual al subespacio R(2,1). Por ello la opción b) también es válida.

Ejercicios propuestos:

Considérese la aplicación lineal f: R²→R², tal que f(x,y) = (x + y, x - y).

El subespacio vectorial Kerf es igual a:

a)      {(0, 0)}

b)     R(-1, 1)

c)      R²

Considérese la aplicación lineal f: R³→R², tal que f(x,y,z) = (x + y, x - y).

El subespacio vectorial Kerf es igual a:

a)      {(0, 0, 0)}

b)     R(0, 0, 1)

c)      R²

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EJERCICIOS SOBRE LA MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL (II)

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EJERCICIOS SOBRE LA MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL

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EJERCICIOS SOBRE CÓMO CALCULAR IMÁGENES EN APLICACIONES LINEALES

EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS AFINES

¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R² no es un subespacio afín de R²?

a)      {(0,0,0)}

b)     {(x₁,x₂) de R² / x₁ + x₂ = 0}

c)      {(x₁,x₂) de R² / x₁ = 0}

Un subespacio afín de un espacio vectorial es un subconjunto no vacío del espacio que puede escribirse como suma de un vector y un subespacio.

Recordad que el conjunto formado por un solo vector del espacio siempre es un subespacio afín, ya que es la suma de dicho vector y del subespacio vectorial formado sólo por el vector nulo.

También es subespacio afín todo subespacio vectorial, ya que es la suma de dicho subespacio y del vector nulo.

Por lo tanto los conjuntos de los apartados b) y c) sí son subespacios afines de R², ya que son subespacios vectoriales de R².

En cambio el subconjunto del apartado a) está formado sólo por el vector nulo. Sí sería un subespacio afín, pero al tener tres coordenadas no pertenece a R². Sería subespacio afín de R³.

Solución: la opción a).

Ejercicios propuestos:

¿Cuál de los siguientes no es cierta?

a)      {(0,0,0)} es subespacio afín de R³.

b)     {(x₁,x₂) de R² / x₁ + x₂ = 1} es subespacio vectorial de R².

c)      {(x₁,x₂,x₃) de R³ / x₂ = 0} es subespacio afín de R³.

¿Cuál de los siguientes no es cierta?

a)      {(0,0,0)} es subespacio vectorial de R³.

b)     {(1,1,1)} es subespacio vectorial de R³.

c)      {(1,1,1)} es subespacio afín de R³.

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EJERCICIOS SOBRE LA DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO VECTORIAL

Dado un número real a, la dimensión del subespacio vectorial de R² generado por los vectores (2, 6), (-1,a) y (-3,-9) es igual a 1 si y solamente si:

a)      a = -3

b)     a ≠ -3

c)      a = 3

La dimensión del subespacio generado por un conjunto de vectores es igual al rango de la matriz formada con ellos.

En este caso sería una matriz de tres filas (una por cada vector) y dos columnas (por ser vectores de dos coordenadas).

Por filas la matriz sería: (2,6), (-1,a), (-3,-9). El rango de esta matriz será como mucho dos, ya que sólo tiene dos columnas. Podrá ser 1 ó 2.

Será dos si podemos encontrar en ella algún determinante de orden dos que no valga cero. Será uno si todos los determinantes de orden dos que hay en ella valen cero.

Los determinantes de orden dos de la matriz son tres, los formados por: primer y segundo vector, segundo y tercer vector, primer y tercer vector. Calculemos los tres:

Determinante 1: 2*a - (-1)*6 = 2a + 6. Determinante 2: (-1)*(-9) - (-3)*a = 9 + 3a. Determinante 3: 2*(-9) - (-3)*6 = - 18 + 18 = 0.

El tercero ya directamente vale cero. Los otros dos valdrán cero si 2a + 6 = 0 y 9 + 3a = 0.

Ambas condiciones dan como resultado que a debe valer -3.                                                               

Solución: la opción a).

Ejercicios propuestos:

Dado un número real a, la dimensión del subespacio vectorial de R² generado por los vectores (1, -2), (-1,a) y (-2,4) es igual a 2 si y solamente si:

a)      a ≠ - 2

b)     a ≠ 2

c)      a = 2

Dado un número real a, la dimensión del subespacio vectorial de R³ generado por los vectores (3,2,6), (-1,a,-2) y (4,1,5) es igual a 2 si y solamente si:

a)      a = -2/3

b)     a ≠ -2/3

c)      a = 2/3

EJERCICIOS SOBRE COMBINACIONES AFINES

Si en R² el vector (2,1) es igual a una combinación afín de los vectores (a,0) y (2,2), entonces:

a)      a = ½

b)     a = 2

c)      Ninguna de las anteriores.

Recordad que una combinación afín de los vectores (a,0) y (2,2) será cualquier vector que se pueda obtener de la forma: x(a,0) + y(2,2), donde x + y = 1.

Tendremos entonces que: (2,1) = x(a,0) + y(2,2), donde x + y = 1.

Así que: (2,1) = (xa + 2y, 2y), donde x + y = 1. Luego tenemos las ecuaciones:

2 = xa + 2y

1 = 2y

x + y = 1.

De la segunda ya sabemos que y = 1/2. De la tercera entonces x = 1/2.

Por lo tanto, sustituyendo en la primera: 2 = (1/2)a + 2(1/2)  à 2 = (1/2)a + 1  à 1 = (1/2)a  à a = 2.

Solución: la opción b).

Ejercicios propuestos:

Si en R² el vector (0,1) es igual a una combinación afín de los vectores (1,a) y (a,2), entonces:

a)      a = ½

b)     a = 0

c)      Ninguna de las anteriores.

Si en R³ el vector (1,1,0) es igual a una combinación afín de los vectores (a,0,0), (0,1,1) y (1,0,1), entonces:

a)      a = 2

b)     a = 1

c)      Ninguna de las anteriores.

 

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EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS VECTORIALES (V)

Considérese los subespacios vectoriales de R² siguientes:

F₁ = R(1,0), F₂ = R(0,1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son suplementarios.

c)      F₂ ≤ F₁, y así F₁ + F₂ = F₁.

El símbolo ≤ representa “está incluido o es igual a”.

¿Está F₁ incluido en F₂ o viceversa (o ninguna de las dos cosas)?

Un vector de F₁ cumple que su segunda coordenada es cero. ¿Pertenece a F₂? Por ejemplo, (3,0) está en F₁, ¿está también en F₂? Para estar en F₂ debería ser cero su primera coordenada. No lo es, luego F₁ no está incluido en F₂.

Al revés el razonamiento es el mismo, así que F₂ no está incluido en F₁.

Por lo tanto las opciones a) y c) no son válidas.

Los subespacios son independientes pues un vector que pertenezca a ambos debería tener la segunda coordenada nula (por ser de F₁) y la primera también (por ser de F₂). El único vector que cumple esto es el vector nulo.

Dos subespacios son suplementarios si son independientes y su suma coincide con todo el espacio vectorial (en este caso R²).

Para comprobar esta última condición hay que ver si cualquier vector del espacio se puede escribir como suma de un vector del primer subespacio y otro del segundo.

Un vector cualquiera de R² es (a,b), donde a, b, son números reales cualesquiera. Este vector lo podemos escribir así: (a,b) = a(1,0) + b(0,1). Es decir, hemos escrito un vector cualquiera del espacio como suma de un vector de F₁ y otro de F₂.

Por todo ello F₁ y F₂ cumplen las dos condiciones para ser suplementarios. La solución es la opción b).

Ejercicios propuestos:

F₁ = R(1,1), F₂ = R(2,2). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son suplementarios.

c)      F₁ + F₂ = R²

F₁ = R(0,1), F₂ = R(2,0). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son suplementarios.

d)     F₂ ≤ F₁, y así F₁ + F₂ = F₁.

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EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS VECTORIALES (IV)

Considérese los subespacios vectoriales de R³ siguientes:

F₁ = {(x,y,z) de R³ / y + z = 0}, F₂ = R(0,1,-1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son subespacios vectoriales independientes.

c)      F₂ ≤ F₁, y así F₁ + F₂ = F₁.

El símbolo ≤ representa “está incluido o es igual a”.

Si se suman dos subespacios, y uno está incluido en el otro, entonces la suma es igual al mayor de los dos subespacios.

¿Está F₁ incluido en F₂ o viceversa (o ninguna de las dos cosas)?

Un vector de F₁ cumple que la suma de su segunda y tercera coordenadas es cero. ¿Pertenece a F₂? Por ejemplo, (3,2,-2) está en F₁, ¿está también en F₂? Para estar en F₂ debería ser múltiplo del vector (0,1,-1), es decir, debería ser (3,2,-2) = a(0,1,-1) para algún número a. Pero este número a no existe, luego F₁ no está incluido en F₂.

Al revés, un vector de F₂ es un múltiplo de (0,1,-1). ¿Cumple la condición para estar en F₁? Sí, ya que todos los múltiplos de (0,1,-1) tienen la suma de su segunda y tercera coordenadas cero.

Así pues F₂ está incluido en F₁.

Eso quiere decir que la suma de ambos subespacios es igual al mayor de los dos, es decir, a F₁: F₁ + F₂ = F₁. La respuesta correcta es pues la d).

Los subespacios no son independientes pues el vector (0,1,-1) pertenece a ambos. Esto descartaría la opción b).

Ejercicios propuestos:

F₁ = {(x,y) de R² / x - y = 0}, F₂ = R(1,-1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son subespacios vectoriales independientes.

c)      F₂ ≤ F₁, y así F₁ + F₂ = F₁.

F₁ = {(x,y,z) de R³ / y - z = 0}, F₂ = R(1,1,1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son subespacios vectoriales independientes.

c)      F₂ ≤ F₁, y así F₁ + F₂ = F₁.

 

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EJERCICIOS SOBRE GENERADORES Y BASES (III)

Dado a de R, los vectores (1,a) y (-3,2) no forman un sistema de generadores de R² si y sólo si:

a)      a = -2/3

b)     a ≠ -2/3

c)      a = -3/2

 

Para responder a esta pregunta hay que recordar que un sistema de generadores de R² estará formado al menos por 2 vectores independientes.

Los vectores (1,a) y (-3,2) cumplen la primera condición (son al menos dos), pero hay que ver si son independientes.

Para que lo sean su determinante no debe valer cero, es decir, 2 + 3a debe ser distinto de cero.

Por lo tanto, si 2 + 3a = 0, los vectores no serán independientes y no formarán un sistema de generadores.

Despejando: 2 + 3a = 0 à a = -2/3.

Solución: la opción a).

Ejercicios propuestos:

¿Dado a de R, los vectores (2,1) y (a,2) forman un sistema de generadores de R² si y sólo si:

a)      a = 4

b)     a ≠ 4

c)      Nunca forman un sistema de generadores.

Dado a de R, los vectores (0,a,2), (2,0,2) y (-1,-2,1) no forman una base de R³ si y sólo si:

a)      a = 2

b)     a ≠ 2

c)      a = -2

 

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