EJERCICIOS SOBRE CÓMO CALCULAR IMÁGENES EN APLICACIONES LINEALES

EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS AFINES

¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R² no es un subespacio afín de R²?

a)      {(0,0,0)}

b)     {(x₁,x₂) de R² / x₁ + x₂ = 0}

c)      {(x₁,x₂) de R² / x₁ = 0}

Un subespacio afín de un espacio vectorial es un subconjunto no vacío del espacio que puede escribirse como suma de un vector y un subespacio.

Recordad que el conjunto formado por un solo vector del espacio siempre es un subespacio afín, ya que es la suma de dicho vector y del subespacio vectorial formado sólo por el vector nulo.

También es subespacio afín todo subespacio vectorial, ya que es la suma de dicho subespacio y del vector nulo.

Por lo tanto los conjuntos de los apartados b) y c) sí son subespacios afines de R², ya que son subespacios vectoriales de R².

En cambio el subconjunto del apartado a) está formado sólo por el vector nulo. Sí sería un subespacio afín, pero al tener tres coordenadas no pertenece a R². Sería subespacio afín de R³.

Solución: la opción a).

Ejercicios propuestos:

¿Cuál de los siguientes no es cierta?

a)      {(0,0,0)} es subespacio afín de R³.

b)     {(x₁,x₂) de R² / x₁ + x₂ = 1} es subespacio vectorial de R².

c)      {(x₁,x₂,x₃) de R³ / x₂ = 0} es subespacio afín de R³.

¿Cuál de los siguientes no es cierta?

a)      {(0,0,0)} es subespacio vectorial de R³.

b)     {(1,1,1)} es subespacio vectorial de R³.

c)      {(1,1,1)} es subespacio afín de R³.

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.

EJERCICIOS SOBRE LA DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO VECTORIAL

Dado un número real a, la dimensión del subespacio vectorial de R² generado por los vectores (2, 6), (-1,a) y (-3,-9) es igual a 1 si y solamente si:

a)      a = -3

b)     a ≠ -3

c)      a = 3

La dimensión del subespacio generado por un conjunto de vectores es igual al rango de la matriz formada con ellos.

En este caso sería una matriz de tres filas (una por cada vector) y dos columnas (por ser vectores de dos coordenadas).

Por filas la matriz sería: (2,6), (-1,a), (-3,-9). El rango de esta matriz será como mucho dos, ya que sólo tiene dos columnas. Podrá ser 1 ó 2.

Será dos si podemos encontrar en ella algún determinante de orden dos que no valga cero. Será uno si todos los determinantes de orden dos que hay en ella valen cero.

Los determinantes de orden dos de la matriz son tres, los formados por: primer y segundo vector, segundo y tercer vector, primer y tercer vector. Calculemos los tres:

Determinante 1: 2*a - (-1)*6 = 2a + 6. Determinante 2: (-1)*(-9) - (-3)*a = 9 + 3a. Determinante 3: 2*(-9) - (-3)*6 = - 18 + 18 = 0.

El tercero ya directamente vale cero. Los otros dos valdrán cero si 2a + 6 = 0 y 9 + 3a = 0.

Ambas condiciones dan como resultado que a debe valer -3.                                                               

Solución: la opción a).

Ejercicios propuestos:

Dado un número real a, la dimensión del subespacio vectorial de R² generado por los vectores (1, -2), (-1,a) y (-2,4) es igual a 2 si y solamente si:

a)      a ≠ - 2

b)     a ≠ 2

c)      a = 2

Dado un número real a, la dimensión del subespacio vectorial de R³ generado por los vectores (3,2,6), (-1,a,-2) y (4,1,5) es igual a 2 si y solamente si:

a)      a = -2/3

b)     a ≠ -2/3

c)      a = 2/3

EJERCICIOS SOBRE COMBINACIONES AFINES

Si en R² el vector (2,1) es igual a una combinación afín de los vectores (a,0) y (2,2), entonces:

a)      a = ½

b)     a = 2

c)      Ninguna de las anteriores.

Recordad que una combinación afín de los vectores (a,0) y (2,2) será cualquier vector que se pueda obtener de la forma: x(a,0) + y(2,2), donde x + y = 1.

Tendremos entonces que: (2,1) = x(a,0) + y(2,2), donde x + y = 1.

Así que: (2,1) = (xa + 2y, 2y), donde x + y = 1. Luego tenemos las ecuaciones:

2 = xa + 2y

1 = 2y

x + y = 1.

De la segunda ya sabemos que y = 1/2. De la tercera entonces x = 1/2.

Por lo tanto, sustituyendo en la primera: 2 = (1/2)a + 2(1/2)  à 2 = (1/2)a + 1  à 1 = (1/2)a  à a = 2.

Solución: la opción b).

Ejercicios propuestos:

Si en R² el vector (0,1) es igual a una combinación afín de los vectores (1,a) y (a,2), entonces:

a)      a = ½

b)     a = 0

c)      Ninguna de las anteriores.

Si en R³ el vector (1,1,0) es igual a una combinación afín de los vectores (a,0,0), (0,1,1) y (1,0,1), entonces:

a)      a = 2

b)     a = 1

c)      Ninguna de las anteriores.

 

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.