EJERCICIO SOBRE SISTEMA DE GENERADORES EN R3

Dado a de R, los vectores (1,a,2), (3,0,1) y (5,-2,5) no forman un sistema de generadores de R³ si y sólo si:

1. a = 0
2. a ≠ -1
3. a = -1
4. Ninguna de las anteriores
   
   

Para responder a esta pregunta hay que recordar que un sistema de generadores de R³ estará formado al menos por 3 vectores (y una base exactamente por 3) independientes.

Si colocamos los tres vectores en filas y formamos un determinante, al calcularlo obtenemos: det(A) = - 12 + 5a – 15a + 2 = - 10a -10.

Si este determinante vale cero los tres vectores no serán independientes y no serán un sistema de generadores.

¿Cuándo vale cero? - 10a -10 = 0 à - 10a = 10 à a = - 1.

Por lo tanto los tres vectores no forman un sistema de generadores si a = - 1.

Si a = 0 el determinante no vale cero, luego los tres vectores serían independientes y sí formarían un sistema de generadores. Esto descarta a).

Si a ≠ - 1 el determinante tampoco vale cero, estamos igual que en el párrafo anterior. No es válida la opción b).

Evidentemente c) sí es válida. Por lo tanto d) no lo es.

Este ejercicio forma parte del libro "100 EJERCICIOS PARA APROBAR MATEMÁTICAS I"

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