EJERCICIOS SOBRE GENERADORES Y BASES (II)

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores no genera R²?

a)      {(1,2)}

b)     {(1,0), (2,1)}

c)      {(2,2), (4,6), (1,1)}

Un conjunto de generadores de R² está constituido por al menos dos vectores.

Además, de entre los vectores del conjunto deberá haber dos que sean independientes.

Eso nos da como solución el conjunto de la opción a). Comprobemos las otras dos opciones.

Los vectores de la opción b) son independientes pues el determinante formado con ellos no vale cero:

El determinante formado por los vectores (1,0) y (2,1) vale 1. Por lo tanto el conjunto de la opción b) sí genera R².

El conjunto de la opción c) generará R² si de entre los tres vectores hay dos que son independientes. Probamos con los dos primeros vectores:

El determinante formado por los vectores (2,2) y (4,6) vale 4. Por lo tanto el conjunto de la opción c) también genera R².

Solución: la opción a).

Ejercicios propuestos:

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores no genera R³?

a)      {(1,2,-1), (2,0,1), (1,1,1), (2,5,2)}

b)     {(1,0,3), (2,1,1), (-1,-1,-4)}

c)      {(2,2,0), (4,6,1), (-2,-4,-1)}

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores genera R²?

a)      {(1,-1), (-2,2)}

b)     {(1,0), (2,1)}

c)      {(4,2), (0,0)}

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.

EJERCICIOS SOBRE GENERADORES Y BASES

¿Cuál de las siguientes es una base de R²?

a)      {(1,3), (-2, -6)}

b)     {(1,0,1), (2,1,3)}

c)      {(2,2), (4,6)}

 

Una base de R² está constituida por dos vectores independientes.

Dos vectores son independientes si no son uno múltiplo del otro.

La opción b) está descartada pues los dos vectores pertenecen a R³, no a R².

Los vectores de la opción a) no son independientes pues (-2, -6) es igual al vector (1,3) multiplicado por el número -3.

Los vectores de la opción c) sí son independientes ya que no existe un número x que cumpla que (4,6) = x(2,2).

Solución: La opción c).

Ejercicios propuestos:

¿Cuál de las siguientes es una base de R³?

a)      {(1,3,0), (-2, -6,1)}

b)     {(1,0,1), (2,1,3),(-1,2,2)}

c)      {(-1,1,2), (4,-4,0),(3,-3,2)}

 

¿Cuál de las siguientes es una base de R³?

a)      {(1,3,0), (0,0,0),(1,2,2)}

b)     {(2,3,-1), (2,1,3),(4,4,2)}

c)      {(-1,0,2), (1,-4,0),(1,1,1)}

 

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.

EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS VECTORIALES (III)

Considérese los subespacios vectoriales de R² siguientes:

F₁ = {(x,y) de R² / y = 0}, F₂ = R(1,1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂,

b)     Son subespacios vectoriales independientes.

c)      F₂ ≤ F₁

El símbolo ≤ representa “está incluido o es igual a”.

El subespacio vectorial F₁ está formado por todos los vectores de R² con la segunda coordenada igual a cero.

El subespacio vectorial F₂ está formado por todos los vectores de R² con las dos coordenadas iguales. Por ejemplo, el vector (5,5) está en F₂ ya que se obtiene de multiplicar el vector (1,1) por el número 5.

La opción a) no es cierta ya que el vector (1,0) pertenece a F₁ pero no a F_2. Así que F₁ no está incluido en F₂.

La opción c) no es cierta ya que el vector (1,1) pertenece a F₂ pero no a F_1. Así que F₂ no está incluido en F₁.

Dos subespacios son independientes si el único vector que tienen en común es el vector nulo.

Para que un vector pertenezca a la vez a F₁ y a F₂ deberá tener la segunda coordenada igual a cero (por ser de F₁) y las dos coordenadas iguales (por ser de F₂). El único vector que cumple estas dos condiciones es el (0,0). Por lo tanto F₁ y F₂ son independientes. La solución es la opción b).

 

Ejercicios propuestos:

F₁ = {(x,y,z) de R³ / y = 0}, F₂ = R(1,0,2). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂,

b)     Son subespacios vectoriales independientes.

      c)      F₂ ≤ F₁

F₁ = {(x,y) de R² / x + y = 0}, F₂ = R(1,1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂,

b)     Son subespacios vectoriales independientes.

c)      F₂ ≤ F₁

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.

EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS VECTORIALES (II)

¿Cuál de los siguientes vectores de R³ no pertenece al subespacio vectorial R(1,0,2)?

a)      (0,0,0)

b)     (2,1,3)

c)      (1/2,0,1)

El subespacio vectorial R(1,0,2) está formado por todos los vectores de R³ que puedan obtenerse multiplicando un número real cualquiera por el vector (1,0,2).

El vector (0,0,0) sí pertenece a R(1,0,2) ya que se puede obtener multiplicando el vector (1,0,2) por el número 0. El vector nulo siempre pertenece a cualquier subespacio vectorial.

El vector (1/2,0,1) se puede obtener multiplicando (1,0,2) por el número ½, luego sí pertenece al subespacio R(1,0,2).

¿Y el vector (2,1,3)? ¿Habrá algún número real que multiplicado por (1,0,2) de cómo resultado (2,1,3)? Sí existiese ese número x, debería cumplir que:

2 = 1x; 1 = 0x; 3 = 2x.

De la primera ecuación se deduce que x = 2. De la tercera, en cambio, que x = 3/2. De la segunda, aún peor, que dicho número no puede existir.

Por lo tanto (2,1,3) no pertenece al subespacio R(1,0,2). La solución es la b).

 

Ejercicios propuestos:

¿Cuál de los siguientes vectores de R² no pertenece al subespacio vectorial R(1,0)?

a)      (0,0)

b)     (2,0)

c)      (0,1)

¿Cuál de los siguientes vectores de R³  pertenece al subespacio vectorial R(1,0,1)?

a)      (0,0,1)

b)     (2,0,-2)

c)      (-1,0,-1)

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.