EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS VECTORIALES (III)

Considérese los subespacios vectoriales de R² siguientes:

F₁ = {(x,y) de R² / y = 0}, F₂ = R(1,1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂,

b)     Son subespacios vectoriales independientes.

c)      F₂ ≤ F₁

El símbolo ≤ representa “está incluido o es igual a”.

El subespacio vectorial F₁ está formado por todos los vectores de R² con la segunda coordenada igual a cero.

El subespacio vectorial F₂ está formado por todos los vectores de R² con las dos coordenadas iguales. Por ejemplo, el vector (5,5) está en F₂ ya que se obtiene de multiplicar el vector (1,1) por el número 5.

La opción a) no es cierta ya que el vector (1,0) pertenece a F₁ pero no a F_2. Así que F₁ no está incluido en F₂.

La opción c) no es cierta ya que el vector (1,1) pertenece a F₂ pero no a F_1. Así que F₂ no está incluido en F₁.

Dos subespacios son independientes si el único vector que tienen en común es el vector nulo.

Para que un vector pertenezca a la vez a F₁ y a F₂ deberá tener la segunda coordenada igual a cero (por ser de F₁) y las dos coordenadas iguales (por ser de F₂). El único vector que cumple estas dos condiciones es el (0,0). Por lo tanto F₁ y F₂ son independientes. La solución es la opción b).

 

Ejercicios propuestos:

F₁ = {(x,y,z) de R³ / y = 0}, F₂ = R(1,0,2). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂,

b)     Son subespacios vectoriales independientes.

      c)      F₂ ≤ F₁

F₁ = {(x,y) de R² / x + y = 0}, F₂ = R(1,1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂,

b)     Son subespacios vectoriales independientes.

c)      F₂ ≤ F₁

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.