SUBESPACIOS VECTORIALES (II)

Veamos más ejemplos de Subespacios Vectoriales, ahora en R³.

 

De los infinitos vectores del Espacio R³ escojo aquellos que cumplen que su segunda coordenada es la opuesta de la primera.

Es decir, vectores como (2, -2, 5), (-1, 1, 10), (4, -4, 23), etc. Fíjate que de la tercera coordenada no hemos dicho nada, así que puede ser cualquiera.

Está claro que estos que he escogido son infinitos, pero son sólo una parte de todos los que hay en el Espacio Vectorial completo R³.

¿Qué ocurre si sumo dos de esos vectores? Escoja los que escoja, al sumarlos siempre tendré que la segunda coordenada es la opuesta de la primera. Por ejemplo: (2, -2, 5) + (-1, 1, 10) = (1, -1, 15), (-1, 1, 10) + (4, -4, 23) = (3, -3, 33).

¿Y al multiplicar uno de los vectores escogidos por un número cualquiera? Pues no hacen falta muchos ejemplos para ver qué es lo que ocurre: 3*(2, -2, 5) = (6, -6, 15), -4*(-1, 1, 10) = (4, -4, -40), etc. El vector resultante de la multiplicación también tiene la segunda coordenada igual a la primera.

Por todo lo anterior, al cumplirse las dos condiciones, el conjunto de los vectores de R³ que tienen la segunda coordenada igual a la primera es un Subespacio Vectorial.

 

¿Y los vectores de R³ que tienen las tres coordenadas iguales? Por ejemplo: (1, 1, 1), (2, 2, 2), (5, 5, 5), (-4, -4, -4), ¿serán un Subespacio?

Si escojo dos de ellos y lo sumo: (1, 1, 1) + (2, 2, 2) = (3, 3, 3), y está claro que siempre ocurrirá lo mismo al sumarlos, tendremos otro vector con las tres coordenadas iguales.

Y si escojo uno cualquiera y lo multiplico por un número cualquiera: 7*(2, 2, 2) = (14, 14, 14).

Sí, el conjunto de los vectores de R³ que tienen las tres coordenadas iguales también es un Subespacio.

Ejercicio 3 resuelto: Los vectores de R² cuya primera coordenada es el doble de la primera son un Subespacio Vectorial?

Son vectores de este conjunto: (1, 2), (2, 4), (3, 6), (20, 40), etc.

Al sumar dos de ellos cualesquiera: (2, 4) + (3, 6) = (5, 10), (1, 2) + (20, 40) = (21, 42). La primera condición se cumple.

Veamos la segunda: 5*(2, 4) = (10, 20),  -9*(20, 40) = (-180, -360). También se cumple.

Luego este conjunto de vectores sí es un Subespacio.

Ejercicio 4. Los vectores de R² que empiezan por uno, ¿son un Subespacio Vectorial?

SUBESPACIOS VECTORIALES

Entender lo que es un Subespacio Vectorial a veces se hace muy duro leyendo determinados libros de Álgebra.

Pero si tenéis claro que un Espacio Vectorial es un conjunto formado por vectores, entonces sólo tenéis que imaginar que de todos esos vectores del Espacio cogéis algunos, es decir, cogéis una parte del Espacio, un subconjunto de él. Esa es la idea primera para comprender lo que es un Subespacio Vectorial: una parte de todo el Espacio Vectorial.

Si sólo fuese eso sería demasiado fácil, pensaréis. Y es cierto, hay una segunda parte más complicada de visualizar.

Ese grupo de vectores que se cogen para hacer un Subespacio tienen que cumplir dos condiciones:

1) Al sumar dos vectores de ese grupo (los que sean), tenemos que obtener otro vector de ese grupo.

2) Al multiplicar un vector de ese grupo (el que sea) por un número (el que sea), se tiene que obtener otro vector de ese grupo.

 

Por ejemplo, R² es un Espacio Vectorial formado por infinitos vectores como ya sabéis. De esos infinitos escojo todos los que empiezan por cero, es decir todos aquellos cuya primera componente es un cero, los que son de la forma: (0,a),  donde a puede ser cualquier número.

Está claro que estos que he escogido son muchos, en realidad son infinitos, pero son sólo una parte de todos los que hay en el Espacio Vectorial completo R².

¿Qué pasa si sumo dos de esos vectores que he escogido? Serán dos vectores que empiecen por cero, así que al sumarlos el resultado será otro vector que empezará por cero también. Por lo tanto el grupo de vectores que empiezan por cero cumplen la primera condición. Con letras: (0,a) + (0,b) = (0,a+b).

¿Y si multiplico uno de los vectores que escogí por un número cualquiera? Pues al multiplicar el número por el cero (primera componente) del vector el resultado va a ser cero, por lo que el vector resultante también empezará por cero. Es decir, se cumple la segunda condición. Con letras: k*(0,a) = (k*0,k*a) = (0,k*a).

Luego los vectores de R² cuya primera componente es un cero forman un Subespacio Vectorial del Espacio R².

Ejercicio 2 resuelto: En el Espacio R² tenemos los vectores a = (2,-4), b = (-1,0),    c = (-2, -3).

¿Cuál será el resultado de efectuar las operaciones siguientes:

a + b, 2a, b – c, 3a - 2c

a + b = (2,-4) + (-1,0) = (1,-4).

2a = 2(2,-4) = (2*2,2*(-4)) = (4,-8).

b - c = (-1,0) - (-2,-3) = (1,3).

3a - 2c = 3(2,-4) - 2(-2,-3) = (6,-12) - (-4,-6) = (10,-6).

Ejercicio 3: Los vectores de R² cuya primera coordenada es el doble de la primera son un Subespacio Vectorial?

OPERACIONES CON VECTORES DE UN ESPACIO VECTORIAL

Los vectores de un Espacio Vectorial se pueden sumar.

La suma en R² se hace sumando la primera componente de un vector con la primera del otro y la segunda con la segunda. En R³ es igual pero además hay que sumar las terceras.

 

La resta se hace de forma similar.

Así tendremos:

(2, 4) + (6, -1) = (8, 3)

(1, 0, -6) + (2, -3, 7) = (3, -3, 1)

 

También se puede multiplicar un vector por un número real (que se llama escalar).

Esto se hace multiplicando el número por cada una de las componentes del vector.

Ejemplos:

3*(2, 4) = (6, 12)

-5*(1, 3, 0) = (-5, -15, 0)

 

En un Espacio Vectorial no existe la multiplicación de un vector por otro.

 

Ejercicio 2: En el Espacio R² tenemos los vectores a = (2,-4), b = (-1,0),    c = (-2, -3).

¿Cuál será el resultado de efectuar las operaciones siguientes:

a + b, 2a, b – c, 3a - 2c

 

Solución de ejercicio 1: Todos lo son menos el (0, 1, 2), que sería un vector de R³, no de R².

ESPACIOS VECTORIALES

Comenzaremos hablando de los espacios vectoriales. Es un tema que suele asustar a todos aquellos que siempre renegaron de las Matemáticas. Pero no tienen mayor misterio. Sólo son un conjunto de cosas con las que se pueden hacer algunas operaciones.

¿Qué cosas? Un Espacio Vectorial es un conjunto formado por elementos que se llaman vectores. Sólo hay que saber en cada Espacio Vectorial cuáles son los vectores y qué se puede hacer con ellos.

Los Espacios Vectoriales que vamos a utilizar siempre van a ser R² y R³. Hay muchos más, pero esos quedan para los expertos.

¿Y eso de R² qué es? R² es un espacio vectorial formado por infinitos elementos (los vectores). Son, por ejemplo: (2,3), (5,-1), (0,7), etc. Es decir, ni más ni menos que pares de números reales. Un vector suele nombrarse con una letra: a = (2,6), por ejemplo. Pero basta con decir (2, 6) para entender que es un vector de R².

En el vector (2, 6), el 2 es la primera componente o coordenada del vector, el 6 es la segunda componente o coordenada.

También R³ está formado por infinitos vectores, que ahora serán ternas de números reales: (0,2,-3), (-3,4/5,7), (1/2,-8,9), etc.

Los vectores de R³ tienen 3 componentes o coordenadas.

 

Ejercicio 1: ¿Cuáles de los siguientes son vectores de R²?

(2, -4), (0, 1, 2), (-3/4, 6), (0, 0)