EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS VECTORIALES (V)

Considérese los subespacios vectoriales de R² siguientes:

F₁ = R(1,0), F₂ = R(0,1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son suplementarios.

c)      F₂ ≤ F₁, y así F₁ + F₂ = F₁.

El símbolo ≤ representa “está incluido o es igual a”.

¿Está F₁ incluido en F₂ o viceversa (o ninguna de las dos cosas)?

Un vector de F₁ cumple que su segunda coordenada es cero. ¿Pertenece a F₂? Por ejemplo, (3,0) está en F₁, ¿está también en F₂? Para estar en F₂ debería ser cero su primera coordenada. No lo es, luego F₁ no está incluido en F₂.

Al revés el razonamiento es el mismo, así que F₂ no está incluido en F₁.

Por lo tanto las opciones a) y c) no son válidas.

Los subespacios son independientes pues un vector que pertenezca a ambos debería tener la segunda coordenada nula (por ser de F₁) y la primera también (por ser de F₂). El único vector que cumple esto es el vector nulo.

Dos subespacios son suplementarios si son independientes y su suma coincide con todo el espacio vectorial (en este caso R²).

Para comprobar esta última condición hay que ver si cualquier vector del espacio se puede escribir como suma de un vector del primer subespacio y otro del segundo.

Un vector cualquiera de R² es (a,b), donde a, b, son números reales cualesquiera. Este vector lo podemos escribir así: (a,b) = a(1,0) + b(0,1). Es decir, hemos escrito un vector cualquiera del espacio como suma de un vector de F₁ y otro de F₂.

Por todo ello F₁ y F₂ cumplen las dos condiciones para ser suplementarios. La solución es la opción b).

Ejercicios propuestos:

F₁ = R(1,1), F₂ = R(2,2). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son suplementarios.

c)      F₁ + F₂ = R²

F₁ = R(0,1), F₂ = R(2,0). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son suplementarios.

d)     F₂ ≤ F₁, y así F₁ + F₂ = F₁.

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.

EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS VECTORIALES (IV)

Considérese los subespacios vectoriales de R³ siguientes:

F₁ = {(x,y,z) de R³ / y + z = 0}, F₂ = R(0,1,-1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son subespacios vectoriales independientes.

c)      F₂ ≤ F₁, y así F₁ + F₂ = F₁.

El símbolo ≤ representa “está incluido o es igual a”.

Si se suman dos subespacios, y uno está incluido en el otro, entonces la suma es igual al mayor de los dos subespacios.

¿Está F₁ incluido en F₂ o viceversa (o ninguna de las dos cosas)?

Un vector de F₁ cumple que la suma de su segunda y tercera coordenadas es cero. ¿Pertenece a F₂? Por ejemplo, (3,2,-2) está en F₁, ¿está también en F₂? Para estar en F₂ debería ser múltiplo del vector (0,1,-1), es decir, debería ser (3,2,-2) = a(0,1,-1) para algún número a. Pero este número a no existe, luego F₁ no está incluido en F₂.

Al revés, un vector de F₂ es un múltiplo de (0,1,-1). ¿Cumple la condición para estar en F₁? Sí, ya que todos los múltiplos de (0,1,-1) tienen la suma de su segunda y tercera coordenadas cero.

Así pues F₂ está incluido en F₁.

Eso quiere decir que la suma de ambos subespacios es igual al mayor de los dos, es decir, a F₁: F₁ + F₂ = F₁. La respuesta correcta es pues la d).

Los subespacios no son independientes pues el vector (0,1,-1) pertenece a ambos. Esto descartaría la opción b).

Ejercicios propuestos:

F₁ = {(x,y) de R² / x - y = 0}, F₂ = R(1,-1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son subespacios vectoriales independientes.

c)      F₂ ≤ F₁, y así F₁ + F₂ = F₁.

F₁ = {(x,y,z) de R³ / y - z = 0}, F₂ = R(1,1,1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son subespacios vectoriales independientes.

c)      F₂ ≤ F₁, y así F₁ + F₂ = F₁.

 

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.

EJERCICIOS SOBRE GENERADORES Y BASES (III)

Dado a de R, los vectores (1,a) y (-3,2) no forman un sistema de generadores de R² si y sólo si:

a)      a = -2/3

b)     a ≠ -2/3

c)      a = -3/2

 

Para responder a esta pregunta hay que recordar que un sistema de generadores de R² estará formado al menos por 2 vectores independientes.

Los vectores (1,a) y (-3,2) cumplen la primera condición (son al menos dos), pero hay que ver si son independientes.

Para que lo sean su determinante no debe valer cero, es decir, 2 + 3a debe ser distinto de cero.

Por lo tanto, si 2 + 3a = 0, los vectores no serán independientes y no formarán un sistema de generadores.

Despejando: 2 + 3a = 0 à a = -2/3.

Solución: la opción a).

Ejercicios propuestos:

¿Dado a de R, los vectores (2,1) y (a,2) forman un sistema de generadores de R² si y sólo si:

a)      a = 4

b)     a ≠ 4

c)      Nunca forman un sistema de generadores.

Dado a de R, los vectores (0,a,2), (2,0,2) y (-1,-2,1) no forman una base de R³ si y sólo si:

a)      a = 2

b)     a ≠ 2

c)      a = -2

 

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.

EJERCICIOS SOBRE GENERADORES Y BASES (II)

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores no genera R²?

a)      {(1,2)}

b)     {(1,0), (2,1)}

c)      {(2,2), (4,6), (1,1)}

Un conjunto de generadores de R² está constituido por al menos dos vectores.

Además, de entre los vectores del conjunto deberá haber dos que sean independientes.

Eso nos da como solución el conjunto de la opción a). Comprobemos las otras dos opciones.

Los vectores de la opción b) son independientes pues el determinante formado con ellos no vale cero:

El determinante formado por los vectores (1,0) y (2,1) vale 1. Por lo tanto el conjunto de la opción b) sí genera R².

El conjunto de la opción c) generará R² si de entre los tres vectores hay dos que son independientes. Probamos con los dos primeros vectores:

El determinante formado por los vectores (2,2) y (4,6) vale 4. Por lo tanto el conjunto de la opción c) también genera R².

Solución: la opción a).

Ejercicios propuestos:

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores no genera R³?

a)      {(1,2,-1), (2,0,1), (1,1,1), (2,5,2)}

b)     {(1,0,3), (2,1,1), (-1,-1,-4)}

c)      {(2,2,0), (4,6,1), (-2,-4,-1)}

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores genera R²?

a)      {(1,-1), (-2,2)}

b)     {(1,0), (2,1)}

c)      {(4,2), (0,0)}

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.