¿CÓMO EXPRESAR UN VECTOR COMO COMBINACIÓN LINEAL DE OTROS?

Para expresar un vector, (1,5) por ejemplo, como combinación lineal de otros vectores, pongamos (-1,2) y (3,1), necesito encontrar dos números a, b, que cumplan que  (1,5) = a(-1,2) + b(3,1). ¿Cómo se buscan esos dos números?

Veamos el proceso:

Tendremos que encontrar dos números a, b, que cumplan que:

(1,5) = a(-1,2) + b(3,1).

Multiplicando y sumando nos queda: (1,5) = (-a,2a) + (3b,b) = (-a + 3b,2a + b).

Separando las primeras componentes por un lado y las segundas por otro obtengo dos ecuaciones, que forman un sistema:

1 = -a + 3b

5 = 2a + b

Se puede resolver por cualquiera de los métodos posibles, por ejemplo, por sustitución, depejando a en la primera ecuación: a = 3b – 1, y sustituyendo este valor en la segunda:

5 = 2(3b – 1) + b; 5 = 6b – 2 + b; 5 = 7b -2; 7b = 7; b = 7/7; b = 1.

Y ahora como a = 3b – 1, sustituyendo b por el valor que he obtenido:

a = 3(1) – 1; a = 3 - 1; a = 2.

Por lo tanto (1, 5) = (2)(-1,2) + (1)(3,1).

 

Ejercicio 12: Expresar (2,1,1) como combinación lineal de (1,1,1), (0,1,0) y (1,0,1).

 

Ejercicio 11 resuelto: Expresa (3,7) como combinación lineal de (1,2) y (3,4).

Hay que encontrar dos números, a, b, que cumplan que: (3,7) = a(1,2) + b(3,4)

Multiplicando y sumando: (3,7) = (a + 3b, 2a + 4b)

Y así se obtiene el sistema:

3 = a + 3b

7 = 2a + 4b

Resolviéndolo se llega a: a = 9/2, b= -1/2.

Por lo tanto: (3,7) = (9/2)(1,2) – (1/2)(3,4).