EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS VECTORIALES (V)

Considérese los subespacios vectoriales de R² siguientes:

F₁ = R(1,0), F₂ = R(0,1). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son suplementarios.

c)      F₂ ≤ F₁, y así F₁ + F₂ = F₁.

El símbolo ≤ representa “está incluido o es igual a”.

¿Está F₁ incluido en F₂ o viceversa (o ninguna de las dos cosas)?

Un vector de F₁ cumple que su segunda coordenada es cero. ¿Pertenece a F₂? Por ejemplo, (3,0) está en F₁, ¿está también en F₂? Para estar en F₂ debería ser cero su primera coordenada. No lo es, luego F₁ no está incluido en F₂.

Al revés el razonamiento es el mismo, así que F₂ no está incluido en F₁.

Por lo tanto las opciones a) y c) no son válidas.

Los subespacios son independientes pues un vector que pertenezca a ambos debería tener la segunda coordenada nula (por ser de F₁) y la primera también (por ser de F₂). El único vector que cumple esto es el vector nulo.

Dos subespacios son suplementarios si son independientes y su suma coincide con todo el espacio vectorial (en este caso R²).

Para comprobar esta última condición hay que ver si cualquier vector del espacio se puede escribir como suma de un vector del primer subespacio y otro del segundo.

Un vector cualquiera de R² es (a,b), donde a, b, son números reales cualesquiera. Este vector lo podemos escribir así: (a,b) = a(1,0) + b(0,1). Es decir, hemos escrito un vector cualquiera del espacio como suma de un vector de F₁ y otro de F₂.

Por todo ello F₁ y F₂ cumplen las dos condiciones para ser suplementarios. La solución es la opción b).

Ejercicios propuestos:

F₁ = R(1,1), F₂ = R(2,2). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son suplementarios.

c)      F₁ + F₂ = R²

F₁ = R(0,1), F₂ = R(2,0). Se verifica:

a)      F₁ ≤ F₂, y así F₁ + F₂ = F₂.

b)     Son suplementarios.

d)     F₂ ≤ F₁, y así F₁ + F₂ = F₁.

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.