EJERCICIO SOBRE SISTEMA DE GENERADORES EN R3

Dado a de R, los vectores (1,a,2), (3,0,1) y (5,-2,5) no forman un sistema de generadores de R³ si y sólo si:

1. a = 0
2. a ≠ -1
3. a = -1
4. Ninguna de las anteriores
   
   

Para responder a esta pregunta hay que recordar que un sistema de generadores de R³ estará formado al menos por 3 vectores (y una base exactamente por 3) independientes.

Si colocamos los tres vectores en filas y formamos un determinante, al calcularlo obtenemos: det(A) = - 12 + 5a – 15a + 2 = - 10a -10.

Si este determinante vale cero los tres vectores no serán independientes y no serán un sistema de generadores.

¿Cuándo vale cero? - 10a -10 = 0 à - 10a = 10 à a = - 1.

Por lo tanto los tres vectores no forman un sistema de generadores si a = - 1.

Si a = 0 el determinante no vale cero, luego los tres vectores serían independientes y sí formarían un sistema de generadores. Esto descarta a).

Si a ≠ - 1 el determinante tampoco vale cero, estamos igual que en el párrafo anterior. No es válida la opción b).

Evidentemente c) sí es válida. Por lo tanto d) no lo es.

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EJERCICIO SOBRE RECONOCER SUBESPACIOS VECTORIALES

¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R³ no es un subespacio vectorial?

1. R(0,1,0)
2. R³
3. {(0,0,0)}
4. {(1,-1,0)}

Para responder a este tipo de preguntas recordad que un subconjunto de la forma R(a,b,c) siempre es un subespacio vectorial de R³, igual que R(a,b) siempre lo es de R². Da igual cuál sea el vector que vaya a continuación de R.

Por lo tanto la opción a) no es cierta.

R³ es un espacio vectorial que contiene mucho subespacios, en particular contiene a dos especiales: el subespacio que es igual a todo el espacio, es decir R³, y el subespacio nulo formado sólo por el vector (0,0,0).

Luego las opciones b) y c) no son ciertas.

Recordad que cuando aparece un vector entre llaves eso representa al conjunto formado sólo por el vector que está dentro de las llaves.

La respuesta correcta debe ser la d?. ¿Por qué?

El conjunto {(1,-1,0)} no puede ser un subespacio vectorial. Para serlo, al sumar dos elementos del conjunto se debería obtener otro elemento del conjunto. En este caso, sumando (1,-1,0) + (1,-1,0) el resultado es (2,-2,0) que no está en el conjunto.

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¿CÓMO EXPRESAR UN VECTOR COMO COMBINACIÓN LINEAL DE OTROS?

Para expresar un vector, (1,5) por ejemplo, como combinación lineal de otros vectores, pongamos (-1,2) y (3,1), necesito encontrar dos números a, b, que cumplan que  (1,5) = a(-1,2) + b(3,1). ¿Cómo se buscan esos dos números?

Veamos el proceso:

Tendremos que encontrar dos números a, b, que cumplan que:

(1,5) = a(-1,2) + b(3,1).

Multiplicando y sumando nos queda: (1,5) = (-a,2a) + (3b,b) = (-a + 3b,2a + b).

Separando las primeras componentes por un lado y las segundas por otro obtengo dos ecuaciones, que forman un sistema:

1 = -a + 3b

5 = 2a + b

Se puede resolver por cualquiera de los métodos posibles, por ejemplo, por sustitución, depejando a en la primera ecuación: a = 3b – 1, y sustituyendo este valor en la segunda:

5 = 2(3b – 1) + b; 5 = 6b – 2 + b; 5 = 7b -2; 7b = 7; b = 7/7; b = 1.

Y ahora como a = 3b – 1, sustituyendo b por el valor que he obtenido:

a = 3(1) – 1; a = 3 - 1; a = 2.

Por lo tanto (1, 5) = (2)(-1,2) + (1)(3,1).

 

Ejercicio 12: Expresar (2,1,1) como combinación lineal de (1,1,1), (0,1,0) y (1,0,1).

 

Ejercicio 11 resuelto: Expresa (3,7) como combinación lineal de (1,2) y (3,4).

Hay que encontrar dos números, a, b, que cumplan que: (3,7) = a(1,2) + b(3,4)

Multiplicando y sumando: (3,7) = (a + 3b, 2a + 4b)

Y así se obtiene el sistema:

3 = a + 3b

7 = 2a + 4b

Resolviéndolo se llega a: a = 9/2, b= -1/2.

Por lo tanto: (3,7) = (9/2)(1,2) – (1/2)(3,4).

 

COMBINACIONES LINEALES

Comenzamos a trabajar ahora con combinaciones lineales de vectores. Una forma intuitiva de explicar esta idea es hacer ver que ser combinación lineal de otros vectores quiere decir algo así como depender de ellos.

Veámoslo con varios ejemplos:

El vector (2, 3) de R² es combinación lineal de los vectores (1, 1) y (0, 1) porque puedo encontrar dos números, el 2 y el 1, de forma que (2, 3) se puede expresar como:

(2, 3) = 2(1, 1) + 1(0, 1)

El vector (2, 1, 4) de R³ es combinación lineal de los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) porque puedo encontrar tres números, el 2, el 1 y el 4, de forma que (2, 1, 4) se puede expresar como:

(2, 1, 4) = 2(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1)

También el vector (-2, 8, 8) es combinación lineal de (1, 0, 1), (2, -1, 3) y (0, 2, 4), ya que:

(-2, 8, 8) = 2(1, 0, 1) -2(2, -1, 3) +3(0, 2, 4)

Ejercicio 11: Expresa (3, 7) como combinación lineal de (1, 2) y (3, 4).

Ejercicio 10 resuelto: Expresa R(-2, 1) en forma de conjunto y, al revés, expresa {(x, y) / x = -y} en forma R(a, b).

En R(-2, 1) se encuentran todos los vectores que se obtienen al multiplicar cualquier número real λ por el vector (-2, 1). Es decir, todos los vectores λ(-2, 1) = (-2λ, λ).

Un vector cualquiera de ese conjunto de vectores será (x, y), que por lo anterior será de la forma (-2λ,  λ). Así que: (x, y) = (-2λ,  λ), de donde x = -2λ, y = λ.

Ahora expreso x en función de y así: x = -2λ = -2y.

Y ya tengo el conjunto con la condición: R(-2, 1) = {(x, y) / x = -2y}.

Para la segunda parte, un vector cualquiera del conjunto será (x, y), pero como x = -y, tendré:

(x, y) = (-y, y) = y(-1, 1), donde y puede ser cualquier número real.

Así pues: {(x, y) / x = -y} = R(-1, 1).