100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I

En el libro digital "100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I" podrás encontrar ejercicios modelo de la asignatura de Matemáticas I de ADE.


Estos ejercicios son un buen resumen de lo tratado en el Blog.


Podéis adquirilo en la librería digital Bubok. El enlace al libro es:
http://www.bubok.es/libros/219373/100_EJERCICIOS_DE_MATEMATICAS_I




martes, 22 de octubre de 2013

MÁS EJEMPLOS DE SUBESPACIOS VECTORIALES


Hemos visto dos maneras bastante útiles de expresar Subespacios Vectoriales: R(1,2) y {(x,y) / y = 2x} son dos formas de indicar lo mismo.

¿Cómo pasar de una forma a la otra? En los ejemplos del apartado anterior ya hemos trabajado cómo convertir la segunda forma en la primera. ¿Y al revés?

 
Por ejemplo, si tenemos el Subespacio R(2, 3) ¿cómo conseguimos expresarlo en forma de conjunto de vectores que cumplen una condición?

En R(2,3) se encuentran todos los vectores que se obtienen al multiplicar cualquier número real λ por el vector (2,3). Es decir, todos los vectores λ*(2, 3) = (2λ, 3λ).

Un vector cualquiera de ese conjunto de vectores será (x, y), que por lo anterior será de la forma (2 λ, 3 λ). Así que: (x, y) = (2λ, 3λ), de donde x = 2λ, y = 3λ.

Despejando λ en la primera ecuación: λ = x/2.

Ahora expresamos y en función de x así: y = 3 λ = 3(x/2) = 3x/2

Y ya tenemos el conjunto con la condición: R(2,3) = {(x, y) / y = 3x/2}.

 

Al revés, si me dan el Subespacio {(x, y) / x = 4y}, ¿cómo lo transformamos en R(a, b)?

Un vector cualquiera del conjunto será (x, y), pero como x = 4y, tendré:

(x, y) = (4y, y) = y(4, 1), donde y puede ser cualquier número real.

Así pues: {(x, y ) / x = 4y} = R(4, 1).

 

Por ejemplo, si tenemos R(1, 5) ¿cómo conseguimos expresarlo en la otra forma?

En R(1, 5) se encuentran todos los vectores que se obtienen al multiplicar cualquier número real λ por el vector (1, 5). Es decir, todos los vectores λ*(1, 5) = (λ,  5λ).

Un vector cualquiera de ese conjunto de vectores será (x, y), que por lo anterior será de la forma (λ, 5λ). Así que: (x, y) = (λ, 5λ), de donde x = λ, y = 5λ.

Despejando λ en la primera ecuación: λ = x.

Ahora expresamos y en función de x así: y = 5λ = 5x.

Y ya tenemos lo que buscábamos: R(1, 5) = {(x, y) / y = 5x}.

 


Ejercicio 9 resuelto: Comprobar si A = {(x,y,z) / x = y, z = 0} es un Subespacio Vectorial.

Tenemos el conjunto: A = {(x,y,z) / x = y, z = 0}

Un vector (x, y, z) cualquiera de A será: (x, y, z) = (x, x, 0) = x(1, 1, 0).

Es decir: A = R(1, 1, 0). Sí es un Subespacio Vectorial.

 

Ejercicio 10: Expresa R(-2,1) en forma de conjunto y, al revés, expresa {(x, y) / x = -y} en forma R(a, b).

domingo, 20 de octubre de 2013

¿CÓMO COMPROBAR SI UN CONJUNTO DE VECTORES ES UN SUBESPACIO VECTORIAL?


Una forma de comprobar que un conjunto de vectores es un Subespacio Vectorial es intentar escribir ese conjunto en la forma R(a,b), si estamos en R2, o R(a,b,c) si es en R3, pues ya hemos visto que un conjunto de esta forma sí es un Subespacio Vectorial siempre.

¿Cómo se hace eso? Fíjate en los ejemplos siguientes:

 
Vamos a comprobar si A = {(x,y) / x = y} es un subespacio vectorial de R2.

Este conjunto A está formado por todos los vectores en los que la primera componente es igual a la segunda. Por ejemplo, forman parte de A los vectores (1,1), (2,2), (3,3), (0,0), etc.

Como x = y podemos escribir cualquier vector de A, (x, y), de la forma: (x,y) = (y,y). Los vectores de A se obtendrán dándole valores a y.

Pero entonces cualquier vector de A se podrá expresar en la siguiente forma: (y,y) = y*(1,1) donde y será un número cualquiera. Es decir, el conjunto A será el R(1,1), y ya hemos dicho que estos conjuntos son siempre un Subespacio Vectorial, luego A lo es.

 

Comprobemos ahora si A = {(x,y) de R2 / 2x – y = 0} es un subespacio vectorial de R2.

Si 2x – y = 0 entonces 2x = y. Los vectores de A son de la forma (x,y) = (x,2x) = x(1,2).

Es decir, el conjunto A es en realidad el conjunto R(1,2): A = R(1,2) y ya sabemos que este conjunto es un subespacio de R2.

 

Ahora veamos si el conjunto de vectores de R3 que cumplen que la suma de sus tres coordenadas es cero y además que tiene la segunda coordenada iguala a la tercera es un Subespacio.

Será el conjunto: A = {(x, y, z) / x + y +z = 0, y = z}

Despejando x en la primera de las ecuaciones: x = -y –z. Además, como y = z, entonces: x = -y –y = -2y.

Por ello un vector (x, y, z) cualquiera de A será: (x, y, z) = (-2y, y, y) = y(-2, 1, 1).

Es decir: A = R(-2, 1, 1). Sí es un Subespacio Vectorial.

 

Ejercicio 8 resuelto: ¿A cuál de los siguientes subespacios vectoriales no pertenece el vector (1,2)?
a) R(-1,-2) b) R(3,6) c) R(-1,2) d) R(1/2,1)

Sí pertenece a R(-1,-2) ya que (1,2) = (-1)*(-1,-2).

Sí pertenece a R(3,6) ya que (1,2) = (1/3)*(3,6).

Sí pertenece a R(1/2,1) ya que (1,2) = 2*(1/2,1).

No pertenece a R(-1,2) ya que no existe ningún número k tal que (1,2) = k*(-1,2). Sería imposible pues k debería ser positivo y negativo a la vez.

 
Ejercicio 9: Comprobar si A = {(x,y,z) / x = y, z = 0} es un Subespacio Vectorial.

jueves, 17 de octubre de 2013

EL SUBESPACIO VECTORIAL FORMADO POR TODOS LOS MÚLTIPLOS DE UN VECTOR


En el Espacio Vectorial R2 (igual se podría razonar todo lo que sigue en R3) podemos construir fácilmente un Subespacio Vectorial de la siguiente forma:

 
Escogemos un vector cualquiera, por ejemplo (2,3), y lo vamos multiplicando por todos los números reales: 1*(2,3) = (2,3); 2*(2,3) = (4,6); 3*(2,3) = (6,9); 0*(2,3) = (0,0); (-1)*(2,3) = (-2,-3); etc.

Este conjunto de infinitos vectores así obtenido es un Subespacio Vectorial de R2, porque se cumplen las dos condiciones para serlo, como fácilmente puede verse. Se representa por: R(2,3), donde la letra R quiere expresar que al vector (2,3) lo multiplicamos por todos los números reales, es decir, que es el Subespacio formado por todos los múltiplos del vector (2, 3). Tenemos pues que: R(2,3) = {(2,3), (4,6), (6,9), (0,0), (-2,-3), …}.


Con este método a nuestra disposición ya podemos construir todos los Subespacios Vectoriales de R2 o de R3 que queramos. Sólo tenemos que escoger un vector cualquiera y de inmediato fabricamos el Subespacio correspondiente: R(1,1); R(0,8); R(-1,3); R(2,2); etc.

R(1,1) = {(2,2), (3,3), (4,4), (0,0), (-1,-1), …}.

R(0,8) = {(0,16), (0,24), (0,40), (0,0), (0,-8), …}.

R(-1,3) = {(-2,6), (-4,9), (-6,12), (0,0), (1,-3), …}.

R(2,2) = {(4,4), (6,6), (8,8), (0,0), (-2,-2), …}.

Por lo tanto, siempre que nos pregunten si R(3, 4), R(-1, 2, 5), R(-3, 2), R(10, -1, 0), etc. son Subespacios Vectoriales, la respuesta será que sí, no hará falta comprobarlo.

 
Te habrás dado cuenta de que el vector nulo (0,0) se encuentra en todos los Subespacios anteriores. Esto siempre se cumple: El vector nulo pertenece a todos los Subespacios Vectoriales.

  

Ejercicio 7 resuelto: Cómo se representarán los siguientes Subespacios: a) El Subespacio de R2 formado por los vectores que cumplen que la suma de sus coordenadas es cero. b) El Subespacio de R3 formado por los vectores que cumplen que la primera coordenada es cero y la tercera es la opuesta de la segunda. c) El Subespacio de R2 formado por los vectores que cumplen que la primera coordenada más el triple de la segunda es cero.

El Subespacio de R2 formado por los vectores que cumplen que la suma de sus coordenadas es cero se representa: {(x, y) de R2 / x + y = 0}.

El Subespacio de R3 formado por los vectores que cumplen que la primera coordenada es cero y la tercera es la opuesta de la segunda se representa: {(x, y, z) de R3 / x = 0, z = -y}.

El Subespacio de R2 formado por los vectores que cumplen que la primera coordenada más el triple de la segunda es cero se representa: {(x, y) de R2 / x + 3y = 0}.

 
Ejercicio 8: ¿A cuál de los siguientes subespacios vectoriales no pertenece el vector (1,2)?

a) R(-1,-2) b) R(3,6) c) R(-1,2) d) R(1/2,1)

martes, 15 de octubre de 2013

UNA FORMA DE EXPRESAR SUBESPACIOS VECTORIALES


¿Cómo expresar con símbolos matemáticos un Subespacio Vectorial? Hay varias maneras de hacerlo. Veamos una de ellas con los ejemplos que ya hemos tratado.


El Subespacio de R2 formado por todos los vectores cuya primera coordenada es un cero se expresará o representará así: {(x, y) de R2 / x = 0}.

¿Qué significa? Las llaves nos indican que es un conjunto. Está formado por elementos (x, y), es decir, vectores, de R2. La barra / en matemáticas significa “que cumplen que”. La condición a cumplir es x = 0, que quiere decir que los vectores cumplirán que la primera coordenada (la x) es cero.


El Subespacio de R2 formado por los vectores cuya primera coordenada es el doble de la segunda se representará: {(x, y) de R2 / x = 2y}.

Lo único que cambia en este caso respecto del anterior es la condición a cumplir: x = 2y, significa que la primera coordenada (la x) es el doble de la segunda (la y).


El Subespacio de R3 formado por los vectores cuya segunda coordenada es opuesta de la primera se representará: {(x, y, z) de R3 / y = -x}.

En este caso los vectores son de la forma (x, y, z), con tres coordenadas por ser de R3. La condición a cumplir: y = -x, significa que la segunda coordenada (la y) es la opuesta (por eso el signo menos) de la primera (la x).

 
El Subespacio de R3 formado por los vectores que tienen las tres coordenadas iguales se representará: {(x, y, z) de R3 / x = y = z}.


Y el Subespacio nulo de R2. Se representará así: {(0, 0)}. En este caso sólo hay un vector en el conjunto, el (0, 0). El Subespacio nulo de R3 será: {(0, 0, 0)}.

 
Ejercicio 6 resuelto: El conjunto B = {(1, 1)} formado sólo por el vector (1, 1), ¿es un Subespacio Vectorial?

En R2 el conjunto formado sólo por el vector (1, 1) será: B = {(1, 1)}.
Si sumo dos vectores cualesquiera de B (como en B sólo está el (1, 1)) tendré: (1, 1) + (1, 1) = (2, 2) que no está en B.
No hace falta seguir, he sumado dos vectores de B y no ha salido otro vector de B. Por ello B no es un Subespacio Vectorial de R2.


Ejercicio 7: Cómo se representarán los siguientes Subespacios: a) El Subespacio de R2 formado por los vectores que cumplen que la suma de sus coordenadas es cero. b) El Subespacio de R3 formado por los vectores que cumplen que la primera coordenada es cero y la tercera es la opuesta de la segunda. c) El Subespacio de R2 formado por los vectores que cumplen que la primera coordenada más el triple de la segunda es cero.

sábado, 12 de octubre de 2013

UN SUBESPACIO ESPECIAL


En cualquier Espacio Vectorial hay un vector único y muy especial: el vector nulo.

Es el vector que cumple que:
·        Sumado con cualquier otro vector el resultado es el otro vector. Es decir, es el elemento neutro de la suma de vectores.
·        Multiplicado por cualquier número el resultado es él mismo, el vector nulo.

En R2 el vector nulo es el vector (0,0).
En R3 el vector nulo es el vector (0,0,0).

Hemos visto que un Subespacio Vectorial es una parte del conjunto de vectores de todo el Espacio que cumple dos condiciones.

Si de todo el Espacio escojo solamente el vector nulo, el conjunto formado sólo por él, ¿este conjunto cumplirá las dos condiciones para ser un Subespacio Vectorial?

En R2 el conjunto formado sólo por el vector nulo será: A = {(0,0)}.

Si sumo dos vectores cualesquiera de A (como en A sólo está el (0,0)) tendré: (0,0) + (0,0) = (0,0) que está en A.

Si multiplico un vector cualquiera de A por un número cualquiera: k*(0,0) = (0,0) que está en A.

Luego el conjunto formado por únicamente el vector nulo es un Subespacio Vectorial de R2.

 
Lo mismo podemos razonar en R3 con (0,0,0).


Ejercicio 5 resuelto: Los vectores de R3 que cumplen que al sumar sus tres coordenadas se obtiene como resultado 10, ¿son un Subespacio Vectorial?

Vectores de este conjunto son: (1, 1, 8), (2, 2, 6), (3, 3, 4), (1, 2, 7), (-2, 4, 8), etc. Hay infinitos.
Al sumar dos de ellos: (1, 1, 8) + (2, 2, 6) = (3, 3, 14), y la suma de sus tres coordenadas no es 10. Falla la primera condición.
Por ello este conjunto de vectores no es un Subespacio.

 
Ejercicio 6: El conjunto B = {(1, 1)} formado sólo por el vector (1, 1), ¿es un Subespacio Vectorial?

miércoles, 9 de octubre de 2013

SUBESPACIOS VECTORIALES (III)


Para que un conjunto de vectores sea un Subespacio ese conjunto debe cumplir las dos condiciones que hemos citado.

Para que NO lo sea basta con que una de las dos condiciones no se cumpla.

 
Por ejemplo, el conjunto de vectores de R2 que cumplen que la resta de la primera coordenada menos la segunda da como resultado uno.
Son vectores de este conjunto: (1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3), (0, -1), (-1, -2), etc.
¿Al sumar dos de estos vectores qué ocurre? (1, 0) + (2, 1) = (3, 1), y la resta 3 menos 1 da como resultado 2, no 1. Falla la primera condición.
Luego (ya no hace falta comprobar la segunda condición) este conjunto de vectores no es un Subespacio Vectorial.

 
Ejercicio 4 resuelto. Los vectores de R2 que empiezan por uno, ¿son un Subespacio Vectorial?

En R2 el conjunto de vectores que empiezan por 1 es evidentemente infinito: (1,0), (1,-1), (1,8), etc.
Si sumo dos vectores de ese grupo: (1,0) + (1,-1) = (2,-1). El resultado es otro vector pero que no empieza por uno.
Falla la primera de las condiciones para que este conjunto de vectores sea un Subespacio Vectorial. No lo es. Ya no hace falta ver la segunda (también fallaría).

 
Ejercicio 5: Los vectores de R3 que cumplen que al sumar sus tres coordenadas se obtiene como resultado 10, ¿son un Subespacio Vectorial?

lunes, 7 de octubre de 2013

SUBESPACIOS VECTORIALES (II)


Veamos más ejemplos de Subespacios Vectoriales, ahora en R3.

 
De los infinitos vectores del Espacio R3 escojo aquellos que cumplen que su segunda coordenada es la opuesta de la primera.
Es decir, vectores como (2, -2, 5), (-1, 1, 10), (4, -4, 23), etc. Fíjate que de la tercera coordenada no hemos dicho nada, así que puede ser cualquiera.
Está claro que estos que he escogido son infinitos, pero son sólo una parte de todos los que hay en el Espacio Vectorial completo R3.
¿Qué ocurre si sumo dos de esos vectores? Escoja los que escoja, al sumarlos siempre tendré que la segunda coordenada es la opuesta de la primera. Por ejemplo: (2, -2, 5) + (-1, 1, 10) = (1, -1, 15), (-1, 1, 10) + (4, -4, 23) = (3, -3, 33).
¿Y al multiplicar uno de los vectores escogidos por un número cualquiera? Pues no hacen falta muchos ejemplos para ver qué es lo que ocurre: 3*(2, -2, 5) = (6, -6, 15), -4*(-1, 1, 10) = (4, -4, -40), etc. El vector resultante de la multiplicación también tiene la segunda coordenada igual a la primera.
Por todo lo anterior, al cumplirse las dos condiciones, el conjunto de los vectores de R3 que tienen la segunda coordenada igual a la primera es un Subespacio Vectorial.

 
¿Y los vectores de R3 que tienen las tres coordenadas iguales? Por ejemplo: (1, 1, 1), (2, 2, 2), (5, 5, 5), (-4, -4, -4), ¿serán un Subespacio?
Si escojo dos de ellos y lo sumo: (1, 1, 1) + (2, 2, 2) = (3, 3, 3), y está claro que siempre ocurrirá lo mismo al sumarlos, tendremos otro vector con las tres coordenadas iguales.
Y si escojo uno cualquiera y lo multiplico por un número cualquiera: 7*(2, 2, 2) = (14, 14, 14).
Sí, el conjunto de los vectores de R3 que tienen las tres coordenadas iguales también es un Subespacio.


Ejercicio 3 resuelto: Los vectores de R2 cuya primera coordenada es el doble de la primera son un Subespacio Vectorial?

Son vectores de este conjunto: (1, 2), (2, 4), (3, 6), (20, 40), etc.
Al sumar dos de ellos cualesquiera: (2, 4) + (3, 6) = (5, 10), (1, 2) + (20, 40) = (21, 42). La primera condición se cumple.
Veamos la segunda: 5*(2, 4) = (10, 20),  -9*(20, 40) = (-180, -360). También se cumple.
Luego este conjunto de vectores sí es un Subespacio.


Ejercicio 4. Los vectores de R2 que empiezan por uno, ¿son un Subespacio Vectorial?

domingo, 6 de octubre de 2013

SUBESPACIOS VECTORIALES


Entender lo que es un Subespacio Vectorial a veces se hace muy duro leyendo determinados libros de Álgebra.

Pero si tenéis claro que un Espacio Vectorial es un conjunto formado por vectores, entonces sólo tenéis que imaginar que de todos esos vectores del Espacio cogéis algunos, es decir, cogéis una parte del Espacio, un subconjunto de él. Esa es la idea primera para comprender lo que es un Subespacio Vectorial: una parte de todo el Espacio Vectorial.

Si sólo fuese eso sería demasiado fácil, pensaréis. Y es cierto, hay una segunda parte más complicada de visualizar.

Ese grupo de vectores que se cogen para hacer un Subespacio tienen que cumplir dos condiciones:

1) Al sumar dos vectores de ese grupo (los que sean), tenemos que obtener otro vector de ese grupo.
2) Al multiplicar un vector de ese grupo (el que sea) por un número (el que sea), se tiene que obtener otro vector de ese grupo.

 
Por ejemplo, R2 es un Espacio Vectorial formado por infinitos vectores como ya sabéis. De esos infinitos escojo todos los que empiezan por cero, es decir todos aquellos cuya primera componente es un cero, los que son de la forma: (0,a),  donde a puede ser cualquier número.
Está claro que estos que he escogido son muchos, en realidad son infinitos, pero son sólo una parte de todos los que hay en el Espacio Vectorial completo R2.
¿Qué pasa si sumo dos de esos vectores que he escogido? Serán dos vectores que empiecen por cero, así que al sumarlos el resultado será otro vector que empezará por cero también. Por lo tanto el grupo de vectores que empiezan por cero cumplen la primera condición. Con letras: (0,a) + (0,b) = (0,a+b).
¿Y si multiplico uno de los vectores que escogí por un número cualquiera? Pues al multiplicar el número por el cero (primera componente) del vector el resultado va a ser cero, por lo que el vector resultante también empezará por cero. Es decir, se cumple la segunda condición. Con letras: k*(0,a) = (k*0,k*a) = (0,k*a).
Luego los vectores de R2 cuya primera componente es un cero forman un Subespacio Vectorial del Espacio R2.


Ejercicio 2 resuelto: En el Espacio R2 tenemos los vectores a = (2,-4), b = (-1,0),    c = (-2, -3).
¿Cuál será el resultado de efectuar las operaciones siguientes:
a + b, 2a, b – c, 3a - 2c

a + b = (2,-4) + (-1,0) = (1,-4).
2a = 2(2,-4) = (2*2,2*(-4)) = (4,-8).
b - c = (-1,0) - (-2,-3) = (1,3).
3a - 2c = 3(2,-4) - 2(-2,-3) = (6,-12) - (-4,-6) = (10,-6).

Ejercicio 3: Los vectores de R2 cuya primera coordenada es el doble de la primera son un Subespacio Vectorial?

viernes, 4 de octubre de 2013

OPERACIONES CON VECTORES DE UN ESPACIO VECTORIAL


Los vectores de un Espacio Vectorial se pueden sumar.

La suma en R2 se hace sumando la primera componente de un vector con la primera del otro y la segunda con la segunda. En R3 es igual pero además hay que sumar las terceras.
 
La resta se hace de forma similar.

Así tendremos:
(2, 4) + (6, -1) = (8, 3)
(1, 0, -6) + (2, -3, 7) = (3, -3, 1)

 
También se puede multiplicar un vector por un número real (que se llama escalar).

Esto se hace multiplicando el número por cada una de las componentes del vector.

Ejemplos:
3*(2, 4) = (6, 12)
-5*(1, 3, 0) = (-5, -15, 0)

 
En un Espacio Vectorial no existe la multiplicación de un vector por otro.

 


Ejercicio 2: En el Espacio R2 tenemos los vectores a = (2,-4), b = (-1,0),    c = (-2, -3).
¿Cuál será el resultado de efectuar las operaciones siguientes:
a + b, 2a, b – c, 3a - 2c

 
Solución de ejercicio 1: Todos lo son menos el (0, 1, 2), que sería un vector de R3, no de R2.

jueves, 3 de octubre de 2013

ESPACIOS VECTORIALES


Comenzaremos hablando de los espacios vectoriales. Es un tema que suele asustar a todos aquellos que siempre renegaron de las Matemáticas. Pero no tienen mayor misterio. Sólo son un conjunto de cosas con las que se pueden hacer algunas operaciones.


¿Qué cosas? Un Espacio Vectorial es un conjunto formado por elementos que se llaman vectores. Sólo hay que saber en cada Espacio Vectorial cuáles son los vectores y qué se puede hacer con ellos.


Los Espacios Vectoriales que vamos a utilizar siempre van a ser R2 y R3. Hay muchos más, pero esos quedan para los expertos.


¿Y eso de R2 qué es? R2 es un espacio vectorial formado por infinitos elementos (los vectores). Son, por ejemplo: (2,3), (5,-1), (0,7), etc. Es decir, ni más ni menos que pares de números reales. Un vector suele nombrarse con una letra: a = (2,6), por ejemplo. Pero basta con decir (2, 6) para entender que es un vector de R2.

En el vector (2, 6), el 2 es la primera componente o coordenada del vector, el 6 es la segunda componente o coordenada.


También R3 está formado por infinitos vectores, que ahora serán ternas de números reales: (0,2,-3), (-3,4/5,7), (1/2,-8,9), etc.

Los vectores de R3 tienen 3 componentes o coordenadas.

 

Ejercicio 1: ¿Cuáles de los siguientes son vectores de R2?

(2, -4), (0, 1, 2), (-3/4, 6), (0, 0)