100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I

En el libro digital "100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I" podrás encontrar ejercicios modelo de la asignatura de Matemáticas I de ADE.


Estos ejercicios son un buen resumen de lo tratado en el Blog.


Podéis adquirilo en la librería digital Bubok. El enlace al libro es:
http://www.bubok.es/libros/219373/100_EJERCICIOS_DE_MATEMATICAS_I




miércoles, 31 de julio de 2013

EJERCICIOS SOBRE GENERADORES Y BASES


¿Cuál de las siguientes es una base de R2?

a)      {(1,3), (-2, -6)}
b)     {(1,0,1), (2,1,3)}
c)      {(2,2), (4,6)}

 
Una base de R2 está constituida por dos vectores independientes.

Dos vectores son independientes si no son uno múltiplo del otro.

La opción b) está descartada pues los dos vectores pertenecen a R3, no a R2.

Los vectores de la opción a) no son independientes pues (-2, -6) es igual al vector (1,3) multiplicado por el número -3.

Los vectores de la opción c) sí son independientes ya que no existe un número x que cumpla que (4,6) = x(2,2).

Solución: La opción c).


Ejercicios propuestos:

¿Cuál de las siguientes es una base de R3?

a)      {(1,3,0), (-2, -6,1)}
b)     {(1,0,1), (2,1,3),(-1,2,2)}
c)      {(-1,1,2), (4,-4,0),(3,-3,2)}
 

¿Cuál de las siguientes es una base de R3?

a)      {(1,3,0), (0,0,0),(1,2,2)}
b)     {(2,3,-1), (2,1,3),(4,4,2)}
c)      {(-1,0,2), (1,-4,0),(1,1,1)}

 

Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.

martes, 30 de julio de 2013

EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS VECTORIALES (III)


Considérese los subespacios vectoriales de R2 siguientes:

F1 = {(x,y) de R2 / y = 0}, F2 = R(1,1). Se verifica:

a)      F1 ≤ F2,
b)     Son subespacios vectoriales independientes.
c)      F2 ≤ F1
El símbolo ≤ representa “está incluido o es igual a”.


El subespacio vectorial F1 está formado por todos los vectores de R2 con la segunda coordenada igual a cero.

El subespacio vectorial F2 está formado por todos los vectores de R2 con las dos coordenadas iguales. Por ejemplo, el vector (5,5) está en F2 ya que se obtiene de multiplicar el vector (1,1) por el número 5.

La opción a) no es cierta ya que el vector (1,0) pertenece a F1 pero no a F2. Así que F1 no está incluido en F2.

La opción c) no es cierta ya que el vector (1,1) pertenece a F2 pero no a F1. Así que F2 no está incluido en F1.

Dos subespacios son independientes si el único vector que tienen en común es el vector nulo.

Para que un vector pertenezca a la vez a F1 y a F2 deberá tener la segunda coordenada igual a cero (por ser de F1) y las dos coordenadas iguales (por ser de F2). El único vector que cumple estas dos condiciones es el (0,0). Por lo tanto F1 y F2 son independientes. La solución es la opción b).

 
Ejercicios propuestos:

F1 = {(x,y,z) de R3 / y = 0}, F2 = R(1,0,2). Se verifica:

a)      F1 ≤ F2,
b)     Son subespacios vectoriales independientes.
      c)      F2 ≤ F1

F1 = {(x,y) de R2 / x + y = 0}, F2 = R(1,1). Se verifica:

a)      F1 ≤ F2,
b)     Son subespacios vectoriales independientes.
c)      F2 ≤ F1


Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.

lunes, 29 de julio de 2013

EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS VECTORIALES (II)


¿Cuál de los siguientes vectores de R3 no pertenece al subespacio vectorial R(1,0,2)?

a)      (0,0,0)
b)     (2,1,3)
c)      (1/2,0,1)

El subespacio vectorial R(1,0,2) está formado por todos los vectores de R3 que puedan obtenerse multiplicando un número real cualquiera por el vector (1,0,2).

El vector (0,0,0) sí pertenece a R(1,0,2) ya que se puede obtener multiplicando el vector (1,0,2) por el número 0. El vector nulo siempre pertenece a cualquier subespacio vectorial.

El vector (1/2,0,1) se puede obtener multiplicando (1,0,2) por el número ½, luego sí pertenece al subespacio R(1,0,2).

¿Y el vector (2,1,3)? ¿Habrá algún número real que multiplicado por (1,0,2) de cómo resultado (2,1,3)? Sí existiese ese número x, debería cumplir que:

2 = 1x; 1 = 0x; 3 = 2x.

De la primera ecuación se deduce que x = 2. De la tercera, en cambio, que x = 3/2. De la segunda, aún peor, que dicho número no puede existir.

Por lo tanto (2,1,3) no pertenece al subespacio R(1,0,2). La solución es la b).

 
Ejercicios propuestos:

¿Cuál de los siguientes vectores de R2 no pertenece al subespacio vectorial R(1,0)?

a)      (0,0)
b)     (2,0)
c)      (0,1)


¿Cuál de los siguientes vectores de R3  pertenece al subespacio vectorial R(1,0,1)?

a)      (0,0,1)
b)     (2,0,-2)
c)      (-1,0,-1)


Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.

domingo, 28 de julio de 2013

EJERCICIOS SOBRE SUBESPACIOS VECTORIALES


¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R2 es un subespacio vectorial?

a) {(0,1,0)}
b) {(0,0)}
c) {(1,1), (2,2)}


La opción a) no puede ser cierta ya que el conjunto {(0,1,0)} no es un subconjunto de R2 al estar formado por un vector de 3 coordenadas.

La opción c) no es cierta ya que si el conjunto {(1,1), (2,2)} fuese un subespacio vectorial entonces la suma de dos vectores del conjunto debería ser otro vector del conjunto. Esto no se cumple, ya que (1,1) + (2,2) = (3,3).

El conjunto formado únicamente por el vector nulo (el que tiene todas sus coordenadas iguales a cero) siempre es un subespacio vectorial. Por ello la solución es la opción b).

 

Ejercicios propuestos:

¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R3 es un subespacio vectorial?

a) {(0,1,0)}
b) {(0,0)}
c) R3



¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R2 no es un subespacio vectorial?

a) {(0,1)}
b) {(0,0)}
c) R2

 
Todos los ejercicios propuestos que van apareciendo en las entradas del blog se encuentran resueltos en el libro “100 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I”.